Полный факторный эксперимент
11 июня, 2013 
admin Каждый фактор в опыте может принимать одно или несколько значений. Такие значения будем называть уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно - из возможных состояний объекта. Это и есть условия проведения одного из возможных о. пытов. Если перебрать все возможное множество различных состояний факторов, то мы получим полное множество состояний объекта.
Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов (если оно одинаково для всех факторов) возвести в степень числа факторов.
Так, если Р — число уровнений и /г — количество факторов, тс число различных состояний /V = Рк (15.1). Например, поставив задачу проведения исследования, в котором выбрано пять факторов при пяти уровнях, получим 3125 состояний. Очевидно, в таких условиях мы вынуждены отказаться от эксперимента. Естественно возникает вопрос, сколько и каких опытов нужно- включить в эксперимент, чтобы решать задачу.
За отказ от полного перебора состояний нужно платить.. Цена — это допущения, которые мы делаем относительно свойств неизвестной нам до опыта модели явления.
Модель — это вид функции параметра состояния У>={(Хи Х2..., ХК). Выбрать модель, значит, выбрать вид функции, записать ее уравнение. При многих факторах функция отклика (параметр состояния) представляется некоторой многомерной поверхностью. При экспериментальных задачах основные допущения относительно поверхности отклика,— непрерывность, гладкость и наличие естественного оптимума. Эти постулаты позволяют рассматривать изучаемую функцию в виде степенного ряда в окрестности любой точки факторного пространства:
А ■ ( и
У = + £ ^х + £ ^,Х{Х/ Б р, Х? + (15.2)
1 = 1 1=1 1=1
После выбора вида функции отклика следует установить границы области определения факторов. Для многофакторного эксперимента — это многомерная поверхность, в случае двухфакторного эксперимента область определения факторов представляется на плоскости (рис. 15.1).
В области определения необходимо найти локальную подобласть для планирования. Процедура включает выбор основного уровня и интервалов варьирования факторов. В большинстве случаев после предварительного эксперимента координаты наилучшей точки неизвестны, но уже есть сведения о подобласти, где процесс идет хорошо. Тогда основной уровень выбирается в случайной точке этой подобласти. После того, как выбран основной уровень, переходим, к выбору интервалов варьирования. Интервалом варьирования ДХ называется некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание — нижний (табл. 15.1).
|
15.1. Уровии факторов
|
Для упрощения записи уровней эксперимента и обработки данных масштабы по осям подобласти определения выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, а нижний — 1.
При выборе интервалов варьирования факторов необходимо иметь в виду, что интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой фиксируется фактор, иначе уровни окажутся неразличимыми; интервал не может быть настолько большим, чтобы уровни оказались за пределами определения.
При решении задачи оптимизации выбираем такую подобласть, которая бы давала возможность шагового движения к оптимуму. В задачах интерполяции интервал варьирования охватывает всю описываемую область определения.
Полезно вести градацию интервалов варьирования факторов: узкий — до 10% области определения; средний — до
30 %; широкий — остальное.
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней, называется полнофакторным (ПФЭ). Если на первом этапе исследования допустить возможность получения линейной модели, ПФЭ основывается на варьировании факторов на двух уровнях и называется полнофакторным экспериментом типа 2^.
Условия эксперимента в кодированной форме обычно дают в таблице, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента.
Введем следующие символы для табл. 15.2 1 — все факторы находятся на нижнем уровне; буквы латинского алфавита означают, что в данной строке фактор соответствующего последовательного столбца был на верхнем уровне.
Матрица планирования в символической форме может быть записана так: с, b, а, abc, (1), cb, са, ab. Такая форма записи особенно удобна для матриц многих факторов.
15.2.
|
Рис. 15.1. Область определения двухфакторного эксперимента |
Матрица планирования эксперимента 2к при k = 3
|
X, |
X, |
X, |
Обозна Чение |
У |
|
—1 |
—1 |
+1 |
С |
Vi |
|
—1 |
+1 |
-1 |
Ь |
У* |
|
+1 |
—1 |
—1 |
А |
У» |
|
+1 |
+1 |
+1 |
Abc |
У $ |
|
—1 |
—1 |
-1 |
(I) |
У, |
|
—1 |
+1 |
+1 |
Cb |
У» |
|
+1 |
—1 |
+1 |
Са |
У, |
|
+1 |
+1 |
—1 |
Ab |
У. |
При большом количестве факторов возникает необходимость в формулировании приема построения матрицы планирования. Простейший прием состоит в том, что при добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды в сочетании с верхним и нижним уровнями нового фактора. Например, матрицу ПФЭ 24 в символической форме запишем так: cd, bd, ad, abed, d, cbd, cad, abd, c, b, a, abc, (1), cb, ca, ab. Полный факторный план обладает рядом важных свойств:
1. Симметричность относительного центра плана, выражаю
N
Щаяся условием £Х/, =0 (/ = 1, 2, k).
/=!
N 0
2. Нормировка, означающая, что =^ (у = 1, 2, ..., k).
I= I
3. Ортогональность, выражающаяся в том, что
%X-,tXul = 0 {j Фи, и = 1,2, k).
I=i
Это означает, что сумма почленных произведений любых двух векторных столбцов матрицы планирования равна нулю.
4. Рототабельность, т. е. точки в матрице планирования, подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления.
Ортогональность и симметричность плана позволяют получить независимые друг от друга оценки коэффициентов регрессии:
N
= (/ = 0,1,2, к). (15.3)
Полные факторные планы дают возможность выявить влияние на функцию отклика не только каждого фактора, но и их взаимодействий. Для этого в матрицу планирования включают вектор-столбцы, содержащие фиктивный фактор Х0.
Матрица планирования эксперимента 23 с учетом взаимодействий принимает вид табл. 15.3. Проанализировав матрицу планирования с учетом взаимодействия, увидим, что она обладает всеми свойствами матрицы ПФЭ. Это позволяет определить коэффициенты парных взаимодействий
В1т = —----- ^ ЦФт, }, т = 1,2, А). (15.4)
В условиях отсутствия эффектов взаимодействия коэффициенты регрессии Б, т будут очень малы, а функция отклика будет описываться полиномом первой степени.
15.3. Матрица планирования эксперимен - 15.4. Матрица планирования
|
По мере роста числа факторов существенно увеличивается различие между числом экспериментов и’ числом определяемых коэффициентов, возрастает объем экспериментального исследования. Естественно, возникает вопрос о. возможности сокращения числа необходимых опытов. |
|
|
 Опубликовано в Теплонспользующие установки промышленных предприятий |