Выведем показатель надежности тепловой сети, представленной на рис. 10.1. Сеть состоит из трех участков, каждый из которых характе­ризуется своим значением параметра потока отказов соі. При отказе участка его отключают и часть потребителей лишается теплоснабже­ния.

Xj=(011)

Так, например, при отказе участка 2 система недоподает 0,3 Q0 тепла, где Qo — расчетный расход тепла через систему. Неотключен - ные потребители, присоединенные к участкам 1 и 3, получают лимити-

Источник тепла

Xl = (101)

Сгг to Су > " Car

<5г Н N с>Г

—□

4j Xj = (no)

Q-

□--

Рис. 10.2. График состояний системы теплоснабжения

ТХЬ

-схн

Гт

Рис. ГОЛ. Схема тепловой сети

ТАБЛИЦА 10.1. СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ Состояние системы Векторы состояний Работоспособные элементы Характеристика качест­ва функционирования 0 Xl= (111) 1; 2; 3 Qo 1 Xj= (011) Ьо Со 0,9, Qo 2 1; з 0,7 Qo 3 XJ=(110) 1; 2 0,4 Qo

Рованное количество тепла и в отказовом состоянии находится не бу­дут.

Рассмотрим возможные состояния системы, связанные с отказа­ми участков теплопроводов. В целях упрощения отказы задвижек учитывать не будем. Вектор состояний системы будет иметь вид:

		(0
X (0 =		(0
		(0

Транспонировав вектор-столбец X в вектор-строку Хт напи­шем граф состояний системы (рис. 10.2). Считаем, что во время ремонта одного элемента вероятность отказа другого ничтожно мала, поэтому возможны только четыре состояния: система исправна, т. е. XI = (111), или у системы отказал один из участков.

Каждому состоянию системы X (t) противопоставляем характе­ристику качества функционирования Фх {і). Для систем теплоснаб­жения она будет равна расчетному расходу теплоносителя за выче­том недоподачи тепла:

Qj it) = Qo — A Qf (t),

Где / — аварийное состояние.

Составим табл. 10.1 состояний систем, расположив их в порядке невозрастания характеристики качества функционирования.

Переходы системы из исправного состояния в отказовое характе­ризуются значениями параметра потока отказов соь сог и ю3. В резуль­тате ремонта система из состояния отказа возвращается в исправное состояние. Но, имея в виду социальное значение отказа системы теп­лоснабжения, оцениваем ее как неремонтируемую. Считаем, что при отказе система не выполнила задачу и остается в отказовом состоя­нии, т. е. переход системы из состояния отказа в работоспособное со­стояние невозможен. Такой подход ужесточает оценку надежности системы.

Таким образом, система может быть в двух состояниях: в исправ­ном с вероятностью Рі (>t) и в состоянии отказа с вероятностью Рк (t). При этом возможны переходы системы только из исправного состоя­ния в отказовое. Вероятность такого перехода за промежуток dt равна сOidt. Отметим на графе состояний (см. рис. 10.2) против каждой стрелки параметры потока отказов со*.

Переходные вероятности из исправного состояния в состояние от­каза равны:

PZk = оо/ dt = dt. (Ю.8)

Вероятность остаться системе в исправном состоянии (не совершив за время dt ни одного перехода) определяется как вероятность со­бытия, дополнительного к совокупности всех возможных переходов из исправного состояния в отказовое, т. е.:

(10.9)

(10.10)

(10.11)

Свяжем вероятность состояния системы в момент t - f - dt с вероят­ностью ее состояния в момент t и переходными вероятностями. Если в момент t система находилась в исправном состоянии с вероятностью Pi (t), то за время dt она могла перейти в состояние отказа или остаться в исправном состоянии, не совершив ни одного перехода.

(10.12)

Вероятность первого события — перехода системы за время dt из исправного состояния в отказовое—будет равна:

2 H <*> ®t* dt>

Где dt—условная вероятность перехода из состояния £ в состояние k при условии, что система находилась в состоянии

Из изложенного

Dt.

Вероятность второго события, когда система за время dt остается в исправном состоянии, £ будет равна

2>

(10.13)

Dt

Tk

Рг (0 1

В момент t система могла находиться в состоянии отказа с веро­ятностью Ph (0- Мы считаем систему неремонтируемой, поэтому, ес­ли система находится в состоянии отказа, то за время dt она не мо­жет совершить никакого перехода и с вероятностью в единицу остает­ся в отказовом состоянии.

Теперь можно написать вероятности состояния системы в момент t - f dt. Вероятности нахождения системы в исправном состоянии в мо­мент t -+- dt соответствует случай, когда она в момент t была исправ­на и за время dt не вышла из этого состояния, следовательно:

Dt

(10.14)

U

Pt (t + dt) = Pt (t) 1

Вероятность нахождения системы в момент t dt в состоянии от­каза равна сумме вероятностей: а) находиться в момент t в состоянии отказа и за время dt не выйти из него. Условная вероятность не поки­нуть состояния отказа равна единице; б) быть в момент t в исправном состоянии и за время dt перейти в состояние отказа.

Таким образом, вероятность Ph ~ (t - f dt) равна

Pk (t + dt) = Pk (о 1 +2 h W dt• (10Л5)

L+k

Момент

Уравнения (10.14) и (10.15) составляют полную систему уравне­ний, определяющую состояние системы теплоснабжения в t -+- dt. Преобразуем эту систему следующим образом:

Pt (t + dt)-pl (О

Dt

DPz (t) Dt DPk (0 dt

(10.16)

Pk (t+dt)-Pk (О dt

= (0 2 t+k

Где k = 0, 1, 2, ..., т. е. уравнения записываются для всех состояний системы

Дл я решения системы дифференциальных уравнений необходимо задать начальное условие в виде вероятности (0) состояния систе­мы теплоснабжения в начальный момент t = 0.

Напишем систему уравнений для рассматриваемого примера. Со­стоянию £ соответствует состояние 0, состоянию k — состояния 1, 2 м 3:

Р'о (0 =-Ро (о (соі + соз + соз); ] Р[ (t) = P0 (0 ал; Р'2 (t) = P0 (0 со2; ^з (0 = ро (0 «е.