Для получения основных решений воспользуемся методом источ­ников, т. е. любой подвижный источник (точечный, линейный) пред­ставим как последовательность действующих и смещенных относи­тельно друг друга мгновенных источников. Далее, используя принцип суперпозиции, для получения окончательных решений конкретных задач просуммируем действия элементарных процессов.

Подвижный точечный источник на поверхности

полубесконечного тела

Пусть в начальный момент времени t = 0 в точке 0о (неподвижной системы координат Х0, F0, Z0, связанной с телом) начинает действо­вать точечный источник постоянной мощности q [Дж/с] и переме­щаться в направлении оси 0()Х() с постоянной скоростью v [см/с] (рис. 13.5). В какой-то момент времени t источник будет находиться в точке 0. Действие подвижного непрерывно действующего точечно­го источника на момент t эквивалентно действию последовательно действующих и смещенных относительно друг друга мгновенных то­чечных источников интенсивностью Q = qdt = q— [Дж]. Например, вы­

деленный на рис. 13.5 мгновенный точечный источник начал действо­вать в момент времени Ґ (находиться на расстоянии vt' от начала неподвижной системы координат 00). На момент времени t этот мгно­венный источник за время (t - f) вызовет изменение температуры в точке А(х0, у()У 20), равное, согласно решению (13.23):

где R'2 = (л*( - vt')2 + уі + z2 - квадрат пространственного радиуса-векто­
ра, характеризующего отстояние точки Л от выделенного мгновенного точечного источника в неподвижной системе координат XVY{)Z{).

Полное изменение температуры в точке Л на момент t будет равно суммарному действию всех сосредоточенных точечных источников на пути 0()0:

Перейдя к подвижной системе координат XYZ, связанной с источ­ником (координаты точки Л(х(), г/0, г0) в подвижной системе координат будут: х = х0 - г>£, г/ = г/0, г = г0), и введя новую переменную £"= t - t после преобразований получим

(13.32)

где R - пространственный радиус-вектор, характеризующий отстояние

точки Л от начала координат 0 в подвижной системе координат XYZ:

R2 = д.2 +у2 + 22 #