Движущееся по какому-либо каналу рабочее тело образует поток. Этот поток может быть дискретным и сплошным. Термодинамику пото­ков ограничим следующими условиями:

1) переменные по поперечному сечению потока термодинамические параметры и скорость заменяются усредненными величинами, сохра­няющими свое постоянное значение по всему этому сечению потока;

2) рассматриваются только стационарные потоки, т. е. такие, в которых независимо от времени в любом сечении его термодинамические пара­метры и скорость потока остаются постоянными;

3) рассматриваются только сплошные потоки, т. е. такие, когда через любое поперечное сечение / канала проходит в единицу времени одно и то же количество вещества, т. е.

Ci/i c2j2 cf Mc = = =.,.== — = const, (1.135)

V2 v

Где mc — массовый расход вещества, проходящего через данное сечение канала, кг/с; с — скорость потока, м/с; v — удельный объем вещества, м3/кг; / — поперечное сечение канала, по которому движется поток, м2.

Уравнение (1.135) называется уравнением сплошности; оно характе­ризует установившееся движение вещества в канале. Представим урав­нение (1.135) в виде

Nw==fc (1.136)

И продифференцируем его при т — const, получим

Mdv=fdc + cdf. (1.137)

Поделив уравнение (1.137) на (1.136), получим

Du dc dF df di' dc-------------------- „ ,„,,4 --- _ 1_ J или J - (1.138)

V с j j V c

Как следует из этого уравнения, для того чтобы течение рабочего тела гю каналу было сплошным, должны быть следующие профили канала:

А) если dc/c < dv/v, то d///>0, т. е. профиль канала должен быть расширяющимся;

Б) если 6.с/С > dV/v, то df/f < 0, т. е. ка­нал должен быть суживающимся;

В) если dС/с — dv/v, то df/f = 0, т. е. канал должен иметь постоянное поперечное сече­ние.

Математическое выражение первого закона термодинамики для потока. В уравнении (1.22) L* представляет собой работу потока, кото­рая состоит из работы проталкивания, тех­нической работы и работы трения.

Рассмотрим перемещение в канале элементарной массы рабочего тела dm из сечения 1-1 в сечение 2-2 (dm изображено на рис. 1.22 графи­чески заштрихованной площадкой) за время dx. На левой грани внешнее давление р совершает работу перемещения элементарной массы; на правой грани внешнее давление р + dp, как направленное навстречу движению тела, носит характер сопротивления, преодолевая которое тело совершает работу; поэтому первую работу следует рассматривать как отрицательную (по отношению к телу), а вторую — как положительную. Алгебраическая сумма этих двух работ называется работой проталкива­ния и для т кг рабочего тела обозначается L (Дж); удельная работа про­талкивания обозначается Г (Дж/кг).

Таким образом, за время dx рабочее тело массой dm совершило работу

DL dx = [(р + dp) (/ + df) (с + dС) - р/с] dx.

Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высшего порядка малости, после сокращения получим

6£ = p/dc + рс df + cf dp = pd (fc) + (fc) dp = d [p (/c)] = d (pV) (1.139) и для 1 кг

51' = d (pv). ' (1.140)

В интегральном виде

V = Сч d ^= № " PlVl' (U41)

Работа проталкивания — это первая часть работы, которую совер­шает поток. Однако на пути между сечениями канала 1-1 и 2-2 он может совершать и другие виды работы, например вращать колесо турбины, перемещать твердые частицы и т. д. Все эти виды работы потока против внешнего объекта называются технической работой. Обозначим ее L^x. Когда поток движется по каналу, то он совершает также работу по преодолению сил трения на границе со стенкой канала — LrP. Таким образом, работа, которую совершает движущийся по каналу поток вещества, будет

L* = {p2V2 - PiVi) + Lrex + LTP. (1.142)

Рис. 1.22. К определе­нию работы проталки­вания

Совмещая между собой уравнения (1.22), (1.23) и (1.142), получим математическое выражение первого закона термодинамики для потока:

Q = W FL_.Il(Я2 - ЯО + АС/ + (p2F2 - PlVx) + Lrcx + Lrp. (1.143)

Поделив уравнение (1.143) на т кг вещества, получим выражение пер­вого закона термодинамики для 1 кг вещества: 2 2

Q = + д (#2 - #0 + Аи + (P2v2 - piVi) + /тех + /тр, (1.144)

Или в дифференциальном виде:

= D (с2/2) + d (дН) + ди + d (Pv) + 8/тсх + 8/тр. (1.145)

Основное уравнение потока и располагаемая работа. Рассмотрим дви­жение по каналу потока, не совершающего техническую работу /гсх = 0. Тогда, пренебрегая изменением потенциальной энергии потока и трением его о стенки канала, уравнение (1.145) примет вид

Bq = d (с2/2) 4- dИ + d (pv) = d (c2/2) + d (u + pv). (1.146)

Так как и + pv = h — есть энтальпия, то окончательно получим

8Q = d (с2/2) + dh. (1.147)

Уравнение (1.147) называется основным уравнением потока. При адиабатном течении потока по каналу без трения уравнение (1.147) принимает вид

Dh = - d(c2/2), (1.148)

Т. е. изменение энтальпии представляет собой изменение кинетической энергии потока при адиабатном течении его по каналу.

Математическая интерпретация закона сохранения энергии приме­нительно к гидродинамическим процессам дана Д. Бернулли в виде уравнения

Dp/p + d (с2/2) = 0, (1.149)

Или

И dp + d (с2/2) — 0. (1.150)

Таким образом, закон сохранения энергии может быть матема­тически записан либо уравнением (1.147), либо уравнением (1.150). Тогда, совмещая эти уравнения между собой, получим, что

8Q — dh — vdp = dh — [D(Pu) — Pdv] = D (h — pv) + p dv — du + P dv,

Т. е. получим уравнение (1.37) первого закона термодинамики для рабо­чего тела, когда оно находится в относительном покое, т. е. для закрытой термодинамической системы.

Таким образом, для потока, движущегося по каналу без трения, с учетом уравнения (1.146) можно написать, что

8Q = d (с2/2) + du + d (pv) = D (с2/2) + Du + Б/', (1.151)

А с другой стороны, для него справедливо уравнение (1.37). Сравнивая эти два уравнения между собой, видим, что

8/ = D (c2/2) + 5/', (1.152)

Т. е. работа расширения-сжатия потока трансформируется в кинети­ческую энергию потока и частично расходуется на движение потока — работу проталкивания. Итак, не вся работа расширения-сжатия, а только часть ее, равная (8/ — §/'), превращается в кинетическую энергию потока. Разность работ расширения-сжатия и проталкивания, равная кинети­ческой энергии потока, называется располагаемой работой и обозна­чается /0.

Таким образом, можно написать, что

8/0 = D (с2/2) = Ы — Ы' = pdv — d (pv) = —vdp, (1.153)

Или в интегральном виде

Л _ „2 Г Pi ГР2''2 fPl

1о= 2 1 - l — l'= pdu- cl (pv) = - J udp. (1.154)

14 Ріі'і ^ Pi

Для жидкостей, паров и реальных газов располагаемую работу можно рассчитать следующим образом: из уравнения (1.147) следует, что d (с2/2) = 8q — dh и, следовательно,

Bl0 = d(c2/2) = bq-dh, (1.155)

Или

/0 = (d - c)j2 = q - Ah. (1.156)

/ _ С2 ~ СЇ 10 — п

Для идеальных газов

2 ,2 ГР2 !

Vdp = / - /' = _ T (px^i - p2v2)

Pi

N

{P2V2 - P1V1) = _ 1 {PiVi - P2V2) = nl. (1.157)

В частности, для адиабатного процесса п = к и для него

К - 1

(1.158)

Iq — kl — _ 1 pivi

■ Покажем, что в координатах р, v площадь, ограниченная кривой процесса, начальной и конечной абсциссами и осью ординат, представляет собой располагаемую работу, т. е. в соответствии с рис. 1.23 пл. а12Ь = /0. Как видно из этого рисунка, площадь заштрихованной элементарной площадки v dp = d/0, и, следовательно, вся площадь а12Ь = /0.

В соответствии с уравнением (1.156) можно написать, что l0 = q + (hx — — h2) = q 4- q°xn, т. е. располагаемая работа в каком-либо процессе равна сумме теплоты этого процесса и теплоты изобарного охлаждения рабочего тела в том же интервале температур (рис. 1.24). Для адиабатного процесса А — С: /0 = - Ah = = пл. AC ab clA.

Для адиабатного процесса, протекающего в парах, в системе коор­динат Т, s (рис. 1.25) располагаемая работа изобразится площадью /0 = = hi — /і2 = пл. OabcldO — пл. Oae2dO = пл. edcl2e. Как видно из рис. 1.26,

Рис. 1.26. Графическое изображение располагаемой работы паров в координатах H, S

Эта же располагаемая работа в системе координат /г, S изобразится дли­ной отрезка 1-2, так как hi — h2 = І о-

Истечение газов и паров. Большой научно-технический интерес представляет процесс истечения упругого рабочего тела из коротких каналов, называемых насадками или соплами. Обычно течение рабо­чего тела в соплах, связанное с изменением его параметров, происходит настолько быстро, что теплообмен между этим телом и стенками сопла практически отсутствует. Это обстоятельство дает основание считать процесс истечения рабочего тела из насадок (сопл) адиабатным. Кроме того, в насадках отсутствует техническая работа.

Рассмотрим случай адиабатного истечения рабочего тела через сопло из резервуара, где оно находилось под давлением ри имея удель­ный объем і'ь в среду с давлением рср < Рі (рис. 1.27). Предполагаем, что объем резервуара настолько большой, что истечение веществ через сопло в течение рассматриваемого промежутка времени практически не приводит к уменьшению давления в резервуаре. Из уравнения (1.154) следует, что скорость истечения из сопла

Рис. 1.25. Графическое изображение располагае­мой работы паров в коор­динатах Т, S

Рис. 1.24. Графическое изо­бражение располагаемой ра­боты в координатах Т, S

Tf 1
		V
B	Г	N	?

Рис. 1.23. Графическое изобра­жение располагаемой работы в координатах р, V

С2^]/21ОТЯ (1.159)

Обычно Сі по сравнению с с2 ничтож­но мала и ею можно пренебречь. В этом случае, опуская индекс у ско­рости тела на выходе из сопла, можно написать, что

С ='|/2/о. . (1.160)

Для любого рабочего тела в соот­ветствии с формулой (1.156) распола­гаемая работа /0 = q + (ht — h2) и, в частности, для адиабатного течения L0 — hi — h2. С учетом этого уравнение (1.160) при адиабатном течении примет вид

С - 1/2 (1ц - h2) = 1,4141/їі^іь, (1.161)

Где h — в Дж/ісг и с — в м/с.

Так как в области невысоких давлений с изменением послед­него жидкость практически не изменяет свой объем, то в соответствии с уравнением (1.154)

1о = ~ Ур[ Vdp = v{pi~ р2),

И, следовательно, скорость истечения из сопла капельной жидкости

С = ]/2Го = |/Ъ(Р1-Р2) = 1,414 /v(Pl-p2). (1.162)

[P1v1
I ^

4 ^рС<Р1

Рис. 1.27. Истечение рабочего тела из сопла

Для идеального газа при адиабатном течении в соответствии с урав­нениями (1.160) и (1.158) скорость истечения

К - I К

2 к

I -

С —

7~Р 1V2

К - 1

(1.163)

Зная скорость истечения, нетрудно определить по уравнению (1.135) массовый расход рабочего тела через сопло.

Проведем анализ истечения из сопла идеального газа. Для идеаль­ного газа расход через сопло

K + 1

2k

P 2 V Pi

P 2

■Ї2

(1.164)

К — 1 vi

Vl

Cih C2f2

Т0 =

V2

Из этого следует, что mc = 0 при р2 = Pi и при р2 = 0. Чтобы найти максимум Штах, т. е. максимум функции (р2/рі), надо взять производную выражения в квадратных скобках и приравнять нулю. Обозначив пере­менную (р2/рі) через Р, произведем действие:

К + 1

Р*

= 0; 2

Dp К+ 1 Р к

2 — к Р к

Apt"1 /с 1

/с + 1

К + 1

= 0, или

К К - 1

Fc -1 Р к, ИЛИ р

К + 1 г ' *" R к + 1 Таким образом, расход газа через с. опло становится максимальным

К

При отношении Pi/Pi = Р

К + 1

К -Ї

, которое впредь будем назы­

Вать критическим отношением давлений и обозначать ркр. Аналогично этому давление в устье сопла (на выходе из него) р'2, удельный объем V2 и скорость истечения с, соответствующие максимальному расходу газа через сопло, назовем критическими и обозначим через /)кр, VKp и скр. Следовательно, можно написать, что

1 к

2 к

2к

1

Р lOj.

К - 1

К+ 1

К + 1

(1.165)

(1.166)

Итак, при изменении давления среды от рІ до р2 — р*Р расход идеаль­ного газа через сопло увеличивается от нуля до максимума. При даль­нейшем понижении давления среды от р2 = ркр до р2 — 0 согласно уравне­нию (1.164) расход газа через сопло должен уменьшаться от максимума до нуля. Опыты с истечением упругих тел через суживающиеся и цилиндрические насадки показывают, что при дальнейшем понижении давления среды от ркр до нуля расход газа через насадку стано­вится постоянным, равным максимальному, т. е. действительный про­цесс изменения тс от P2/Pi = 1 до р2/р = О идет по линии Abc (рис. 1.28). Это расхождение теории с действительностью объясняется тем, что в устье цилиндрического или суживающегося сопла при давлении среды Рср < РкР устанавливается свое давление р'2 = ркр независимо от давле­ния среды. Этому постоянному давлению потока на выходе из сопла, естественно, будет отвечать постоянный расход рабочего тела через сопло, равный максимальному значению wmax.

Покажем, что критическая скорость потока в данном сечении канала равна местной скорости звука в нем. В самом деле,

Понижение температуры в потоке при критической скорости со­гласно уравнению (1.165) равно

Fc - 1

'кр ТГ

Гк„ / рКр '' 2 Pi

_ _ /с - f - 1

11 — « І кр>

Что при подстановке в уравнение (1.167) дает известное из курса физики выражение местной скорости звука

А = }/кВХр = /кр^7Р. (1.168)

Так как R = 8314/ц, то а = ]/8314/с71-рДі. Отсюда следует, что местная скорость звука, а следовательно и скр, уменьшается с увеличением моляр­ной массы газа и с уменьшением к и Т.

Теперь можно сказать, что критическими параметрами рабочего тела при течении его в канале называются термодинамические пара­метры в том сечении его, где скорость потока равна местной скорости звука.

Итак, нами установлено, что при истечении рабочего тела из ци­линдрического или суживающегося сопла скорость потока на выходе из него не может быть больше местной скорости звука. А это зна­чит, что при истечении упругих тел, в частности идеального газа через цилиндрические и суживающиеся сопла в среду с давлением рср < ркр, только часть потенциальной энергии потока, соответствующая пере­паду давления от рі до ркр, переходит в кинетическую энергию потока, хотя поток по выходе из сопла и будет продолжать расширяться с понижением своего давления от Ркр до рср, но это расширение будет происходить неорганизованно и потенциальная энергия потока будет расходоваться на образование вихрей и т. д.

Поставим перед собой задачу построить такой профиль сопла, который обеспечил бы полное превращение потенциальной энергии по­тока, соответствующей перепаду давления от ру до р2 = рср, в кинети­ческую энергию потока по выходе его из сопла. Для этой цели про­ведем анализ уравнения (1.138): df/f = dv/v — dc/c.

Так как — v dp = d (с[1]/2) = с dС, то, поделив это уравнение на с2, получим

-Vdp/c2 = dc/c. (1.169)

Продифференцируем уравнение адиабаты pvk = const, получим Kpvk~ldv + vkdp = 0. Поделим это уравнение на pvkk, тогда

TOC o "1-3" h z df dp Л dy dp „

---- + -І— = 0, или — = - (1.170

V kp v кр

Совмещая между собой уравнения (1.138), (1.169) и (1.170), получим Df dp t vdp kpv — с2 , a2 - с2 , ..

Проанализируем уравнение (1.171). Так как крс2 > 0, a dp < 0, то во всем диапазоне изменений скорости истечения с от 0 до с < а в соот­ветствии с уравнением (1.171) df/f < 0, т. е. профиль сопла должен быть суживающимся. При c = a = cKp d///=0 и/ = /min, т. е. в минималь-

Рис. 1.28. Зависимость массового расхода газа через сопло от отношения р2/рІ

Рис. 1.29. Зависимость профиля сопла Лаваля от скорости в нем потока и перепада давления

Ном сечении сопла будем иметь критические параметры скр, vKp, ркр и Гкр. Из уравнения (1.171) следует, что при всех скоростях истечения выше скорости звука (с > а) профиль сопла должен быть расширяющим­ся, так как в этом случае d///> 0. Впервые профиль такого сопла был предложен шведским инженером Л авалем. Очевидно, сопло Лаваля позволяет получить скорость потока рабочего тела, выходящего из насадки, выше скорости звука в данной среде. На рис. 1.29 приведен про­филь сопла Лаваля и характер изменения в нем р и с при течении в нем рабочего тела.

В инженерных расчетах химической технологии для реальных газов и перегретых паров низких давлений ркр, а следовательно, и ркр находят из уравнения (1.165). Так, для перегретого водяного пара, приняв как для трехатомного газа к = 1,3, из этого уравнения находим ркр = 0,55.

(1.172)

Скорость пара или реального газа на выходе из сопла рассчи­тывается по формуле (1.161), а критическая скорость истечения — по формуле

Скр = 1,414]//!! - k

В этих формулах Hi, H2 и HKp находятся либо по /is-диаграмме, как это указано на рис. 1.30, либо с помощью таблиц: Hi — по Pl и гь H2 — по

Р2 И S2 = SІ И /ікр - ПО рКр И SKp =

Для расчета секундного расхода пара или реального газа через сопло, либо для расчета его характерных сечений /min и /тах исполь­зуется уравнение сплошности (1.135). Входящее в это уравнение v2 или укр находится или непосредственно из /«-диаграммы, как это наглядно показано на рис. 1.30, или с помощью таблиц: v2 — для р2 и s2 =

= Si И Гкр - ДЛЯ р,ф и SKp = Si.

(1.173)

Температура торможения. При адиабатном течении рабочего тела в неподвижном канале уравнение (1.147) принимает вид

D (с2/ 2) + Dh = 0.

Таким образом, всякое изменение кинетической энергии рабочего

Рис. 1.30. Графическое изображе - Рис. 1.31. Изображение процесса тормо-

Ние процесса течения рабочего жения потока

Тела по соплу Лаваля в коорди­натах H, S

Тела будет вызывать соответствующее (обратное) изменение его энталь­пии, а следовательно, и температуры.

Пусть поток при адиабатном течении набегает на какое-либо тело М. Тогда в соответствии с рис. 1.31 какая-то центральная струйка рабо­чего тела (потока) при ударе по нормали о тело М в точке О, полностью потеряв свою кинетическую энергию, повысит свою температуру. Точка, в которой скорость рабочего тела обращается в нуль, называется Точкой нулевой скорости, а температура в этой точке — температурой полного торможения. Для определения этой температуры напишем интегральное выражение уравнения (1.173) для газа:

Срт (Т2 - 7"i) + (El - Cj)/2 = 0. (1.174)

Пусть Ті и Сі относятся к некоторому сечению А-В газового потока, в котором газ еще не испытывает влияния на свое движение тела М, а Т2 и С2 — к газовому потоку в точке О. В этом случае с2 = 0, а температура торможения Тт = Т2 найдется из уравнения (1.174):

Т? = Ті + с1(2срп). (1.175)

Для идеального газа ср = с„ + R = Cp/K + R, или

Ср — —-— R.

Р к - 1

Подставляя это выражение в уравнение (1,175), получим

К - 1 1с?

П +

R 2

Для воздуха газовая постоянная R = 287 Дж/(кг-К); к = 1,4 и поэтому для него уравнение (1.175) примет следующий вид:

Тг = Ъ + 5 (cj/100)2.

Диффузор. При течении рабочего тела в соплах (насадках) имеет место непрерывное понижение давления и возрастание скорости потока, т. е. в соплах протекает процесс превращения потенциальной энергии в кинетическую. Каналы, в которых происходит превращение
кинетической энергии потока в потенциальную, т. е. повышение давле­ния за-счет снижения скорости потока, называются диффузорами. Так как в диффузорах всегда Dp > 0, то из' формулы (1.171) следует, что при всех значениях скорости потока при входе в диффузор Ci < а = скр про­филь его должен быть расширяющимся (d / > 0), а при с І > а = скр он должен быть сперва суживающимся (d/< 0), а затем расширяющимся (d/> 0). В первом случае давление потока возрастает до р2 ^ ркр, во вто­ром — в минимальном сечении диффузора он достигает величины ркр, А затем становится больше его. При условии обратимости процесса в диффузоре работа, затрачиваемая в нем на сжатие потока от рІ до р2, Очевидно, равна по абсолютной величине располагаемой работе при течении потока в насадках (соплах), но противоположной по знаку, т. е. /дИф = —/о - Следовательно, работа, затрачиваемая в диффузоре на сжатие газового потока, изобразится в системах координат р, V и Т, S (см. рис. 1.23, 1.24) площадями Ь21а и BdABeb соответственно. Направ­ление изображенных на этих графиках процессов — против часовой стрелки, причем процесс 2-1 на ри-диаграмме — сжатие газа в диффу­зоре. Работа, затрачиваемая на сжатие парового потока в диффузоре, изобразится в координатах Т, S (см. рис. 1.25) площадью 21сЬе2, а в координатах /і, S (см. рис. 1.26) — отрезком 2-1, причем линии 2-І в обеих системах координат изображают процесс адиабатного сжатия пара.

Диффузор является основной частью турбомашин (турбокомпрес­соров и турбонасосов), служащих для сжатия рабочего тела и тран­спортирования его потребителю.

Смешение газов. Рассмотрим смешение газовых потоков и смешение газов при наполнении резервуаров.

Смешение газовых потоков. Пусть п потоков с различ­ными параметрами соединяются в один поток. При адиабатном течении газов без совершения внешней работы в соответствии с формулой (1.147) полная энергия потока газовой смеси равна сумме полных энергий по-

/ = п І = и

Токов, составляющих смесь, т. е. MCMhCM + MCMcM/2 = £ Mjii + ]Г m,-cf/2.

І = І і = і

Для большинства технических задач по причине малых скоростей тече­ния можно пренебречь кинетическими энергиями по сравнению со зна­чениями энтальпий соответствующих потоков. Тогда можно написать, что

І = П І—П

MCJicM= £ mfci, или HCM = £ GJh. (1.176)

І=1 1=1

Это уравнение справедливо для потоков идеальных и реальных газов, паров и жидкостей. Для идеального газа H = срТИ поэтому для него

І = и

Уравнение (1.176) запишется так: cpCMTCM = ]Г откуда

Г = 1

І~п І~п

Z QiCpiTi 2 QiCpiTi = - . (1.177)

Е в**

І = і

Объем смеси идеальных газов определится из уравнения состояния. Смешение идеальных газов при наполнении ре­зервуаров. В резервуаре объемом VНаходится тх кг газа при рх и Тх. В него поступает т2 кг другого газа с параметрами р2 и Т2. После этого в резурвуаре будет тш кг смеси объемом VCM = V. Так как смешение газов происходит без производства внешней работы, то тсмиш = тхих + 4- т2и2.

Так как для идеального газа и = CvT, то

"WrcM^M = mCviTx Л - m2cv2T2,

Или

(mi/шсм) cvlTx 4- (т2/тсм) cv2T2 gxcvlTx + g2cv2T2 n 1по. JCM — ^ — . # ^ j[ /gj

Сгсм G{cv 1 + g2cv2

По известным Тсм и VCM определяются остальные параметры смеси.