Упруго-пластическое решение задач в случае перемещающегося поля напряжений в металле с переменными свойствами является чрезвычайно сложным. В настоящее время еще не существует до­статочных физических предпосылок, чтобы рассматривать процесс сложного нагружения металла с активной и пассивной деформа­цией при одновременной перемене знака пластической деформации при разгрузке. В связи с этим для упруго-пластического решения сварочных задач, помимо разработки принципа расчета на ЦВМ, необходимо было выбрать такие физические предпосылки для условий протекания упруго-пластических деформаций, которые бы удовлетворяли известным данным теории пластичности, но поз­волили ставить задачу со сложным нагружением. С учетом послед­него замечания, а также с учетом реальных значений величины пластической деформации при сварке были выбраны следующие физические предпосылки в отношении поведения металла при пла­стической деформации:

1. Так как возникающие при сварке деформации металла не превосходят обычно Ї—2%, то была принята схема идеально пла­стичного металла, не имеющего упрочнения.

2. В результате пластической деформации анизотропия свойств отдельных объемов металла не возникает, т. е. процесс сложного нагружения при протекании пластических деформаций может быть представлен как серия. следующих друг за другом отдельных актов простого нагружения, отличающихся направлением осей главных деформаций и соотношением компонентов. Математически это по­ложение применительно к плоскому напряженному состоянию мо­жет быть представлено следующим образом. Допустим одно со­стояние элементарного объема характеризуется полными дефор­мациями eXl, Eyt, eZl и уху„ а другое следующее во времени за ним, — деформациями еХг, еУг, е2г, ухУг, причем разность соот­ветствующих деформаций незначительна по сравнению с самими деформациями. Предполагается, что второе напряженное состояние можно выразить формулами простого нагружения [46, 48], если в качестве деформаций принять

(64)

где вх1п, еПп, еПп и утп — пластические составляющие дефор­маций первого нагружения.

3. Положения п. 2 распространяются также на случай, когда при переходе от первого напряженного состояния ко второму из­меняется диаграмма металла (G и токт) вследствие изменяющихся температурных условий (рис. 23).

Для определения временных и остаточных напряжений при помощи ЦВМ область пластины, где ожидаются пластические де­формации, разбивают на полосы вдоль направления сварки (рис. 24). Каждую из полос делят на ряд отрезков, причем в об­ласти больших градиентов температур целесообразно брать отрезки меньшей окт величины.

Для различных зон, отличающихся по температуре, назначают типы диаграмм хеАт — у окт (см - рис. 23) с различными модулями упругости и пределами текуче­сти. Для высокотемпературной области принимают хТ = 0.

В ЦВМ для каждого отрезка хранят­ся координаты х, у середины отрезка (на рис. 24, а обозначены точками), текущие значения полных деформаций гх, гу,- ег, уку для середины отрезков, напряжения а*, ау, хху в тех жеточ - ках. В программу работы ЦВМ или в ее память заложена также принадлежность каждого отрезка к соответствующему типу диа­граммы Х0Кт — у окт ‘

і

Изотермы %

Первоначально в машину направляются значения деформаций и напряжений, соответствующие упругому решению (упругое ре­шение температурной задачи также можно выполнить с помощью ЦВМ). Решение выполняется за ряд приближений. Каждое при­ближение включает в себя программу № 1 и программу № 2. Программа № 1 включает в себя вычисление напряжений, соот­ветствующих деформациям, и сравнение их с имеющимися напря-

жениями. Например, для отрезка 1 полосы I (рис. 24, а) по пол­ным деформациям eXl, eVl, zZl, ухУі вычисляется у0Кт (формула (45)1, а затем по соответствующей диаграмме определяется хокт. По формулам (46)—(48) вычисляются напряжения а'х , о' , х'ху^ и находится разность напряжений

Несоответствие между напряжениями устраняется впослед­ствии при выполнении программы № 2 за счет назначения пласти­ческой деформации в полосе. При выполнении программы № 1 разности напряжений АоХі, АоУі и &хху1 временно направляются в оперативную память машины.

Вычисление разностей напряжений, подлежащих снятию, для отрезков 2, 3, 4 и т. д. производится иначе, чем для отрезков /. Например, для отрезка 2 вначале необходимо вычислить упругие деформации гх, гу , в. , хху отрезка 1 по формулам теории

*1 *Уі Vi Vi

упругости через напряжения от, о' , х ; затем, вычитая эти упругие деформации из полных деформаций, найти пластические деформации:

в*щ = гх1 гхУ1’ гуП~гу1 гщ> В*я1 = 8г! ’ ЧхуПї ~ УXIіг УХУУ1'

Затем необходимо из полных деформаций отрезка 2 пластические деформации (66) отрезка /:

В*к2 ~~ г*г ВУнг = ЄУ2 ЄУпх<

8*я2 = е*2 УХУН2 ~ Уху2 У*яп£

где индексы означают: у — упругие, п — пластические деформа­ции, н — деформации нагрузки.

По значениям в, Яа, гУн%, e, Ht и Ул*„3 определяется уокт% по

формуле (45), по диаграмме находят хоктзи затем по формулам (46)— (48) вычисляют напряжения а' , а' , х , соответствующие де-

х2 У% ХУ% J

формациям (67).

Вычисляем разности напряжений второго и первого отрезков:

Разности (69) аналогично разностям (65) направляются вре­менно в память машины. Да*,,, Аау, и АххУа для отрезка 3 полу­чают аналогично определению разностей для отрезка 2 по форму­лам (66)—(69). Указанные операции выполняют для всех отрезков всех полос.

К концу программы № 1 в оперативной памяти машины накап­ливаются значения разностей напряжений, которые надлежит устранить путем осуществления пластической деформации во всех отрезках исследуемой области. Очевидно, что пластическая де­формация, которая произойдет, например, в отрезке.? полосы //, должна содержаться также в металле всех отрезков, находящихся в полосе II позади отрезка 3. Это вытекает из того факта, что от­резки 4,5 ит. д. полосы II при продвижении поля уже прошли эту стадию пластической деформации вследствие установившегося температурного поля и поля упруго-пластических деформаций. Указанное обстоятельство отражено в формулах (70)—(78), вы­ражающих перераспределение напряжений и деформаций вслед­ствие пластических деформаций.

Программа № 2 заключается в вычислении приращений на­пряжений и деформаций для каждого отрезка от пластической деформации каждого отрезка. Фактически это означает, что на­ходятся напряжения и деформации от нагрузок, показанных на рис. 24, б и приложенных в целом бесконечном теле. При этом qx = АаХп, qy = АоУп; qxy = Аххуп. Вычисления производятся по следующим формулам с расположением начала координат, как показано на рис. 24, б:

от нагрузки qx

Лст* = ж[— 2arctg-f+ 2arct§T + (1 (70)

Aoi = ^-2arctg^+'2arctg'F + (1 +^) (т-тт)*]: (71)

от на

Ао« = [2 ( arctg 1>-------- г sisn v — arctg IT +

+ - fSignu) + (1 - f — - я-) де] ; (74)

= ik - 0 + *> (4~ 4)]; <75>

от нагрузки qxy

Да* = - fn - ln4 ~ (i + v) (4 - 4)] ;

— 2 arctg ~ - f 2 arctg — 2 arctg —

-2(, +!*)(-§--!-)],

.. d d

u = y + ~Y; v = y — -2~;

A =x2 + (у +-|-)2; В = x2 + (y —

c-*■-(»+4)'-.

Приращения напряжений добавляются к хранящимся в ЦВМ напряжениям, а приращения деформаций — к полным деформа­циям. Во все отрезки, находящиеся позади фронта пластической деформации, включая и сам отрезок п, в котором идет пластиче­ская деформация, помимо приращений напряжений (70)—(78), производится еще добавка напряжений, вычисляемых по форму­лам (65) или (69),