Современные методы информационно-измерительной техники [Л. 89, 94], использующие понятие энтропии, позволяют произво­дить обобщенный сравнительный анализ с целью выявления наи­более оптимальных в метрологическом смысле ИИП при заданных законах изменения преобразуемых величин.

Выведем соотношения, позволяющие производить оценку ИИП ПО средней информационной статической погрешности Ycp. CT при известном законе распределения плотности вероятностей и по сред­ней информационной динамической погрешности Yep. дин при извест­ном законе изменения во времени преобразуемых величин.

В общем случае при кусочно-ступенчатой аппроксимации функ­ции р(х) плотности вероятностей и заданных нижнем Xi и верх­нем Хг пределах преобразования ИИП с соблюдением условия нормирования

Хш

^p(x)dx= 1 (186)

х,

получим выражение плотности вероятностей для любого п-го уча­стка:

Рп (X) =-------------------- ■-------------------------------- ,---- (187)

а, (*,*, - *.) + £ «„ (Кп ~ К— г)

/1=2

где ап и Кп — коэффициенты пропорциональности соответственно

ординат и абсцисс ступенек (/(т = 1); т — число ступенек.

Средневзвешенное значение условной энтропии, определяющее дезинформирующие свойства любого ИИП, имеющего энтропийную погрешность

A=Ao+Ys* (188)

(Ао — погрешность нуля, ys — погрешность чувствительности), запи­сывается:

X* КЛ

ЯСР (Х/Хп) = J р {х) И (Х/Хи) dx = рх (х) f In 2Д dx +

Хі Хг

п=т КпХ*

+ Шрп(х) J In 2 kdx. (189)

Определив Ясро(^Дп) только для мультипликативной состав­ляющей AM = Y*, после разрешения относительно ys и подстановки вместо ЯсроСВДп) выражения (189) получим выражение для сред­ней информационной статической погрешности:

Уср. ст=/7ст(ЯСр(ХДп), ап, Кп, хи Х2]. (190)

Р (*):

Аналогично при кусочно-линейной аппроксимации возрастаю­щей функции времени x(t) после нахождения обратной функции и нормирования по уравнению (186) получим плотность вероятностей для п-го участка:

tK к Jm*,*,-*,) (*«-*»-,) —— +

/і=2

(191).

где рп и Кп — коэффициенты пропорциональности соответственно абсцисс И Ординат точек изгиба (|3m—/(m—l).

Средневзвешенное значение условной энтропии для ИИП, имею­щего текущую динамическую погрешность (случайное значение)

. %п (Кп Кп-.) Х2 {lQ9y

Ддинп— 2/п“2 ($n — h-i)T

[хп — скорость изменения функции x(t)y Тп— период дискретиза­ции, зависящий от ху Т — время изменения функции], записывается^.

КхХ%

Ht(X/Xn)=p(x) J In 2ДДИНІ dx +

Хі

n—m KnX*

P*n (#) J 2АДин n dx, (1^3)

fi—2 Kn-X>

Определив //*ер. рд (Х/Хи) Для символического РДИИП с пере­менным квантом Д*рд п = Тер. дин^п* после разрешения относительно Yep. дин и подстановки вместо //*ер. рд (Х/Хп) выражения (193) по - лучим среднюю информационную динамическую погрешность:

Yep. дин ~ ^дин

[Hv(X/Xn), ря, Кп. Хи *.]• (194)

Проиллюстрируем изложенный метод на примере сравнения

следящего ИИИП с развертывающим, описываемых соответственно функциями преобразования

ТИ=^и„-, (195)

<196>

* ЭТ 1эт

где Тио — длительность нормированного импульса (например, дли­

тельность импульса одновибратора) ; /эт — эталонный ток, R и С входное сопротивление и емкость конденсатора: £/это — компенси­рующее смещающее входное напряжение.

Если главным дестабилизирующим фактором является измене­ние длительности Тио, то следящий ИИИП будет иметь только муль­типликативную составляющую погрешности ysx, а развертываю­щий— только аддитивную Д0. При идентичности функций преобра­зования обоих ИИИП по чувствительности их погрешности будут связаны следующим уравнением:

Доразв ==#/3tYsc лед = ^lYSc лед, (197)

ГДЄ Х =#/31 = U вх. мин — минимальное значение входного напряже­ния.

Положив, что функция плотности вероятностей имеет только две ступеньки (аі = 1, а2=а, /Сі = /С, /(2—-1), с учетом (187) и (189) из уравнения (190) получим выражение для средней информацион­ной статической погрешности развертывающего ИИП:

YeP.ei. Pa3B = /сР'РаЗВ W*n)_ (198)

а с учетом (197) — отношение средних информационных статиче­ских погрешностей развертывающего и следящего ИИИП

In Д+КД (1 a) In К r _ ТсР-,ст. Разе = еп 2а,-h g Л (/(Д-1) +аД (1-*) #

YcP. ct. след

При этом в уравнениях (198) и (199)

Яср. разв (ВД,) = 1п2а0; (200)

, f КД( — а) 1п/С + 1пЛ

h— 1п2а2 + ^д_ j) + ад (j —1. (201)

где

а0 — А0/Ах; cl і = Х/cl2== X2f. Ах; ^ = Х2/X ^ = &2/ &\ Ах =: 1.

Выполним сравнение ИИИП и ЧИИП по средней информацион­ной динамической погрешности. Для этого положив, что кусочно­линейная функция времени СОСТОИТ ИЗ двух участков (Pl = P, $2=1, Кі = К, /Сг= 1), с учетом (191), (192) и (193) из уравнения (194)

найдем выражение для средней информационной динамической по­грешности ИИИП и ЧИИП:

Ге, яин. и (202)

и отношение средних информационных динамических погрешностей ИИИП и ЧИИП

г* _ їеР-Дан. и _ 5Я*сР. в (*/Хп)_//*еР. ч 1х1хи> _ Q

їеР. дин. ч

При этом в уравнениях (202) и (203)

Р (1 —/С) [КД (1п/С«2 —• 1) — In а, + 1] +

Л _ (1 ~К)Х

(204)

+ КД (1 - Р) [ In а2 - 1 - К (In Ка,- 1)]

XW-!)

н*ср. в = кЖ1Ц [{КД ~ *)1п нг* + кд Vа Ка* - •) -

Тп, І її I W-P) Г., .... (1-^)7-^

lna,+ lj+ 1^(1— К)1а (1_р)т-

— К(1пКаг — l) + lna2 — lj ; (205)

н*°р. ч = хЬц [ W-*)ln - л'^ (1п к*»-1) +

+ In а, — 1 J + (і _^)((ад^р) [о — К) X

Х1п —^Y-^zfff'”380 + * On Kat - 1) - In a2 + 1 j, (206)

где Гмакс—максимальный интервал дискретизации в функции пре­образования ИИП.

[1] Этот термин рекомендован для ИП ГОСТ 16263-70. В лите­ратуре можно встретить близкий термин динамический коэффици­ент преобразования, под которым понимают динамический диапазон преобразования.

[2] Выражение (80) для результирующей погрешности получено в предположении, что частные погрешности, выражающиеся через произведения соответствующих частных производных и первичных погрешностей, независимы и имеют нормальный закон распределения. Р дальнейшем это условие принимается и для других ИИП.