Охлаждение трубной заготовки начинается непосредственно после ее выхода из формующего зазора экструзионной головки и проводится сначала в калибрующем, а затем в охлаждающем уст­ройствах. Задача рассматривается применительно к трубам, у ко - шрых D/S > 10. Таким образом, основное уравнение имеет вид:

^-L=a(T)—f + D(T) di ЭХ2

rff I, (6.45)

I ic /) — наружный диаметр трубы, м; S - толщина стенки, м; Т — температура, К; If Г) — температуропроводность полимера как функция температуры, м-/с;

ЭМТ)

D(T)

м V(c • К);

ЬГ

С,(ТМТ)

СД7) — теплоемкость полимера как функция температуры, кДж/(кг К); Л(7) теплопроволиость полимера как функция температуры, Вт/(м2- К); р(7) — пл< ность полимера как функция температуры, кг/м'; / — нрнвелсннос время, с/м^ X — безразмерная координата.

В переменных X = x/S и 1 - t/S2 решение инвариантно отж сительно толщины стенки (/ — время охлаждения трубы).

За начальное распределение применяется постоянная но сеч< нию выдавливаемой заготовки температура — Тр, К. Мри испол! зоваиии современных экструзионных машин, шнеки котор! снабжены специальными гомогенизирующими элементами, Э1 условие выполняется достаточно точно.

На внутренней поверхности трубы принимается отсутстви теплоотвода:

дТ л

= °- (6.46)'

,V=0

дХ

На охлаждаемой поверхности:

J ЭГ Т„-ТгдХ

aS ЦТ»)'

.v=i

где индекс «п» относится к поверхности грубы, индекс «/> — жидкости вне пограничного слоя. Теплопроводность расплава полимера практически не зависит от температуры. Так как в начальный момент 7*„ = Гр, за значения критерия Bio, являющего аргументом задачи, можно принять зна чение, полученное при Ло = Л( 7^). Тогда

1ВПСПТ мен пн ь зна» (6.47)

дТ

_ aS Ло

= Bio

тп-т.

дХ

/

Изменение толщины стенки заготовки учитывается при интег­рировании уравнения теплопроводности. Принимая во внимание индивидуальный для полимеров харак тер зависимости отношения Я0 = Х(Гр) от температуры, очевидно, что роль Bio как критерия подобия сводится исключительно к обеспечению инвариантности граничного уравнения по отноше­нию к характерному значению системы. В уравнении (6.47) имеет­ся другая инвариантная размеру величина, которая выявляется при сю перегруппировке:

X<r"S

1 S9”*'

(6.4Х)

х=

где и — коэффициент теплоотвода от охлаждаемой поверхности. Вт/(м2- К).

Рис. 6.21. Зависимость температуры стенки трубы от приведенного времени охлаждения: числа у кривых — наружный диаметр труби Д м; — экспернмагг, рлечег

i. iK же, как и искомую по постановке задачи длитель­ности охлаждения (/„) до заданной конечной температуры (7J*) в «гонке изделия: 4) = fl (T’pJnJoK )• (6.50) Входящий в состав последних двух уравнений параметр Тп (юмпература охлаждаемой поверхности) предлагается определить как среднеинтегральную на отрезке времени охлаждения по урав­нению, вытекающему из равенства (6.48):

Величина в квадратных «кобках уравнения (6.48) по фи шческому смыслу явля - п я гепловым потоком с охлаждаемой поверхности и щетины единичной тол­щины («приведенный тсп - ювой поток» </п р). Эту функцию легко выделить in результатов численного интегрирования основного уравнения при граничном условии первого рода в виде зависимости % =Л(,/Р'7п»0' (6-49)

(6.51)

где для общности а заменено на коэффициент теплопередачи К. На рис. 6.21 приведено температурно-временнбе распределе­ние в стенке охлаждаемой трубы из полипропилена при Bio, рав­ном 7 и 14, построенное на основе табулированных результатов численного интегрирования уравнения (6.42) при граничных ус­ловиях (6.47). Хотя в настоящее время накоплено достаточно вариантов ре - 1>льтатов интегрирования уравнения теплопроводности для опре­деления зависимости (6.50) в расширенном виде - f{Jр> Тп, /ок, Bio j, в задаче интенсивности и оптимизации процесса охлаждения мы используем уравнение:

I

f{TrTuJ

*(') =

(6.52) 507

I

Рис. 6.22. Кривые охлаждения внутреннего слоя заготовки: / - Т„ - 280 К; 2 - Г„ - 300 К

Уравнение (6.52), при выбранной из технолог ческих соображений или по условию оптимальности в личине температурного hi пора (Г,, - '/}), выдви! совершенно опредсленш требования к распредели пню интенсивности тепле отвода на всем участке о> лаждения изделия.

О завершенности про^ цесса охлаждения трубы су* дят по температуре наиГ лее горячего слоя стенк! трубы. Температура ( должна быть задана в зави­симости от технологичес­ких условий изготовлении трубы. Изменение температуры внутренней (неохлажлаемой) ло< верхи ости трубы (X = 0) во времени при различных исходи! температурах расплава и охлаждаемой поверхности показано па рис. 6.22.

На кривых охлаждения имеется точка перелома, соотвстству! тая нижней границе температурного интервала максимально» скорости кристаллизации; обозначив этот момент приведенно! времени /кр («время кристаллизации»), разделим процесс охлаж­дения на два этапа. Ход кривых на первом, а также координата точки перелома по оси времени определяются начальными и гра­ничными условиями. После точки перелома распределение тем­ператур в стенке зависит только от граничного условия. Поэтому общее время охлаждения /0 до заданной максимальной остаточной температуры на внутренней поверхности Ток для кристаллизирую­щегося полимера может быть найдено в виде:

/о=ткр(7р,7„)-ы(7;17ок). Я

Рассмотрим первое слагаемое последнего уравнения. Из неизве­стной задачи нестационарной теплопроводности с фронтом пре­вращения вещества в классической се постановке для пластины толщиной 5 можно определить время полного превращения /кр:

1 кр __ Р CpQ 1

(6.53)

~ST = КР= 2Г Гкр-Г„

глс р', Ср' — плотность и теплоемкость ло кристаллизации; X" — теплопровод кость закристаллизовавшегося материала; Q — характеристическая температура превращения.

Уравнение (6.53) получено из условия, что теплофизические характеристики материала имеют постоянные значения, скачко­образно меняющиеся при фазовом переходе. Время полного пре- иращения оказывается обратно пропорциональным разнице меж - IV гемпературой перехода и температурой поверхности. Постоян­ный для классической задачи множитель в нашем случае является неизвестной функцией краевых температур, связанной с зависи­мостью теилофизических характеристик полимера от температу­ры. Эту функцию можно искать в виде степенного ряда:

ч + Я()(7кр-7п ) + ••• +°/(7 кр-^п) + 02(7р“7кр)+",+*?/(7р-7кр) + " •

Необходимое число членов ряда определим с помошыо шаго­вого регрессионного анализа уравнения:

а 7р~ /Кр

'кр=Я0 + ~ Т~ Г "" (6-54)

/кр~ /Г1 7кр“ уп

Показано 1371, что исчерпывающим является применение толь­ко выписанных в уравнение (6.54) членов ряда.

Вторые участки кривых на рис. 6.22, полученные при одних и iex же граничных условиях, могут быть совмещены путем марал - юлыюго переноса по оси времени. На рис. 6.23 такое совмеще­ние выполнено в полулогарифмических координатах. Как видно п $ рисунка, ряд произвольных точек, взятых равномерно из таб­личного массива результата интегрирования определяющего уравнения, хорошо группируется около лучей, выходящих из гочки с координатами ( Гкр, 0). Угол наклона лучей зависит от юмпературы на охлаждае­мой поверхности. Сформи­руем относительную тем­пературу для слоя X = 0 « 373

п виде:

°lv=o "

_7Ы>-7п

- Т 'кр 'в

F’eine-

303

I hi которой «начальной» юмпературой является а текущей — ТI х=о - икс линейного уравнения к-илопроводности в этом i |учае дает:

lgO-/) + /4(/- /кр), (6.55)

мс А — постоянное число (при Вю -» 0).

На рис. 6.24 данные предыдущего рисунка не рсстроены в применении ► относительной темпераiv ре 0. Очевидно, что, в oi личие от классическою решения, для кристалли­зирующихся полимеров во личина А является функ цией «начальной» темпе ратурной разности. ')м функция в определенной мере отражает среднсин тефальную величину ко эффи ци ента те м пе рату poi 1 роводности в пределах тем пературной разности (7кр Г,,). Хорошее приближение этой функции дает уже линейный множитель />( (Гкр - '/'„), и иски-

о

I

Прицеленное время 7

3 I06,

с/м2

мое уравнение принимает вид:

(6.56)

Ig0 = /^ +b ( /Кр~ Тп)(/ -/кр)-

SHAPE * MERGEFORMAT

Коэффициенты рсфессионного уравнения приведены в табл. 6.5.

Уравнение вида (6.56), когда ход перестройки температурною поля не зависит от начального температурного распределения, ха­рактерно для регулярною режима охлаждения. Важным выводом из приведенного здесь результата является то, что для кристалли­зующегося полимера регулярный режим охлаждения наступав! только после снижения максимальной скорости кристаллизации Из уравнения (6.56) находим время охлаждения слоя до заданной относительной остаточной температуры:

I teOoK-4) 1

(6.57)

кр

'о=',

bi(TK,-Tny

глс гкр определяется по ураннснию (6.54).

Применим предложенный метод к поиску функций, аппрокси мирующих зависимость теплового потока от времени охлаждения Процесс по прежнему разбит на два этапа известной по уравне нию (6.54) величиной приведенного времени /кр. Па рис. 6.25 по казана зависимость приведенного теплового потока от приведен ною времени охлаждения на первом этапе. Очевидна его зависи мость как от начальной (7’р), так и от граничной (Г,,) температур. На этом этапе охлаждения тепловой поток определяется положе нисм кристаллизирующегося слоя, его расстоянием от охлаждае мой поверхности ( ^), а стенку трубы можно представить полуог
раничснным массивом с фронтом н 1>свращения вещества. Из реше­ния классической задачи имеем:

Рис. 6.25. Зависимость прицеленного теплового потока от иривелеппого вре­мени охлаждения на первом этапе

|=/(Гр-Гп)7г.

Тогда тепловой поток равен:

rV^i

.

В нашем случае Х = объединив под знак функции и разность, стоящую в числителе, запишем:

f{T^-Tn)

4 <р(Гр-7п)/Г

Таким образом, искомая зави­симость для теплового потока

юлжна представлять собой произведение трех независимых функ­ций и аппроксимирующее значение следует искать в виде:

lg<7nP ='«о +"1 № + "2 ^(Т'р-Т'п )+"з ^(7^-71. )• (6.58)

Коэффициенты рс1рессионного уравнения приведены в табл. 6.5.

I а б л » ц а 6.5. Коэффициенты регрессионных уравнений (6.56), (6.58), (6.60) и (6.61) КоэЗфнциент ПЭВП ПЭНП Г in Я| 324,2016-!(/’ 63,693-10° 147,3873-10° Fax 2727 62.6 96,54 «2 1,0552-106 1,37575*10° 2.418339-10° Faг 2443 696 125.9 «0 0,3522-10° 1,07195-10° 0,922674-10° F«б 2270 500 823,6 Ьх -0.285745-108 -0.2104 10 s -0.112997-10* F^ 14897 3832 833 bo 0,0141 0,0911 0,02272 «1 -0,5307 -0,5231 -0,4884 Fn{ 8411 665 26696 'h 0,4985 0.62441 0.6996 Fn2 35 574 2628

Коэффициент	ПЭВП	пэнп	ПП
Пу	0.31339	0.30806	0,237703
Fn}	290	112	171
По	3.44152	3.065105	2.65509
Гоб	2936	3304	12956
м,	1.8141	1.39787	1.670668
F//I,	39,5	18.84	130.5
пь	-0.261071 108	-0.18399221 10*	0,1010473-108
Fniy	80.92	191	374

Отметим, что показатель степени при приведенном времени п случае всех трех полимеров, как это следует из вывода уравнении (6.58), примерно равен 0,5.

Несколько иначе обстоит дело с тепловым потоком после ы вершения кристаллизации. На данном этапе охлаждения меняется не координата , а температура 7'1.у=0 при постоянной толшинс стенки X = 1:

V =^(/lv=O~7'0’

или

tfnp =ЦТкр-Тп )0-

На рис. 6.26 представлена зависимость lg qnp от lg 0 дзя вариап тов расчета ПЭН П. Таким образом:

lg<7np = 4) + <* lg(7Kp-7’n)+<*2 IfiO. (6.59)

Уравнение (6.59) имеет ясное физическое толкование, вытека ющее из его вывода; для практики удобнее использовать прямую зависимость вида <упр =J{TKp — Тп, I). Подставив в уравнение (6.59) выражение для lg 0 из уравнения (6.56), получим;

lg?..p =4) +4 lg(7,KP-7,n)+A) + ^1 (Т’кр-Т’п К/_/кр)» или, объединив do и Ь0, найдем:

Ig^np = nio + Щ Ig(7Kp-7i)+ м*2 (Тц-Тп (6.60)

Коэффициенты регрессионного уравнения приведены в табл. 6.5

В случае поливинилхлорида наступление регулярного режима охлаждения, как это следует из рис. 6.27, не связано с переходом

0,1 0.2 0.6 1,0 IgO(K)

Гис. 6.26. Зависимость приведенного н-нлового потока от относительной тем­пературы охлаждения для второго этапа охлаждения. Цифры на кривых - темпе­ра г рнля разность (7^ - Т„), К

0 1 2 3 4 5 6

Приведенное время Г - 10‘6, с/м2

Рис. 6.27. Зависимость относительной температуры от приведенного времени охлаждения и температурной разности <ГМ - Т.):

• - 98 К: о - 108 К: + - 118 К

полимера в стеклообразное состояние. Для относительной темпе­ратуры пригодно уравнение:

lg0 = Z)+£|/. (6.61)

Коэффициенты регрессионного уравнения приведены в табл. 6.6.

Хотя из рис. 6.27 видно, что относительная температура не за­висит от температурной разности, в пределах которой рассматри­вается процесс охлаждения, при оценке коэффициентов уравне­ния (6.61) последнее рассматривалось, по аналогии с уравнением (6.56), в расширенном виде:

IgO = /*) + V + f>2 lg(7p - 7*n)+ ^/(Гр - Tn).

Регрессионный анализ не подтвердил гипотезы, что Ь2 и />3 от­личны от нуля.

Для теплового потока в решении линейного уравнения тепло­проводности нет аналитического выражения. Сохраняя принятую Ия кристаллизирующегося полимера форму уравнения и разби­вая процесс на две части, получим: для /<3,3 106

lg<7..p +Л, lgT + /*2 lg(V7n); (6-62>

513

' 47-10

'Г а 6 л и и а 6.6 коэффициент регрессионных уравнений (6.62), (6.63) для 11 ЭНII Коэффициент Значение коэффициента by -O. l 19195- Кf bo 0.119457 Foe 6169 Я| -0.551094 Fnt 816 п2 0.874377 Fnj 196 По 3.14035 Foe 465 m, 2.57328 Fni 930 m> -8.742* IO"10 Fm, 144 m0 -3.7168 Foe 118

ДЛЯ '>3,3-106

Ig'/np =/ио +m, lg(Vrn)+m2T(7p“7’n). (6.63)

Коэффициенты уравнения (6.62) и (6.63) приведены в табл. 6.6. Для завершения построения математической модели нсобходи мо определить вид зависимости

^пр ~ Г^пр(^р’ ’1 ^

в уравнении (6.62). Уравнения (6.58), (6.60), (6.62) и (6.63), апп­роксимирующие функцию <7„р (7jj, П., о. имеют достаточно про стон интеграл.

Для кристаллизующегося полимера:

при t <t2 <tKр

_ <7пр2'2 _<7npl'l.

при 'Кр < /| < '2 - 'охл Qnp2~Qnpl ^('г-бХ^кр-Т’п^шо'

9nP=(«l+'X'2-'l)' (6М)

при f| < /2 ь э, э • iu

“ <Упр2/2~<7пр1/1.

(6.66) (6.67)

?пр (ч+ixm)’

при 3.3106 </, <t2 £toxn

*/пр2 */npl

‘7np='"2(f2-/lX7p-7-„)lnlO’

I ic <7пр| и </пр2 — значения мощности приведенного теплового потока, определен­ные по уравнениям (6.58), (6.60), (6.62) и (6.63) в соответствующий момент приве­ченного времени /| или h.

Построение математической модели охлаждения труб из тер­мопластов, таким образом, сводится к следующему:

1) коэффициенты теплоотвода от охлаждаемой поверхности и их распределение по длине охлаждающего оборудования считают­ся определенными; для оросительных ванн в разделе 6.2.4. дано юстаточно строгое решение;

2) теплофизические характеристики полимера представляются в виде аналитической их зависимости от температуры статисти­ческой обработкой опытных данных; для улучшения последую­щих расчетов на ЭВМ полезно выбирать наиболее простые урав­нения при сохранении достаточно высокого уровня объяснения разброса функции;

3) интегрируется основное уравнение теплопроводности в гра­ничном условии первого рода при вариации начального и гранич­ного параметров; так как вид аналитических зависимостей между параметрами процесса теперь установлен, достаточно шести вари­антов изменения входных параметров;

4) статистическими методами определяются коэффициенты аппроксимирующих уравнений для рассматриваемого полимера.

При постановке задачи построения математической модели ох - ьаждения конкретного полимера следует различать два класса по - шмеров:

а) кристаллизующиеся при охлаждении;

б) аморфные.