Рис. 38. Расчетная схема соединения с прямоугольным выступом: а — схема деформаций шва; б — схема нагрузки отдель­ных частей

При исследовании напряженного состояния плоской модели с выступом, представляющим собой несколько упрощенную форму стыкового шва, было установлено, что в сечении по подошве выступа действуют касательные напряжения %ху и нормальные напряжения Gy.

При уменьшении высоты выступа значения нормальных напряжений оу заметно уменьшаются, тогда как значе­ния касательных напряжений при этом снижаются в сравнительно малой сте­пени.

Сопоставление приведенных данных дает основание считать, что для реаль­ных стыковых швов, которые харак­теризуются относительно небольшой высотой выступа, значения нормальных напряжений в этом сечении будут малы по сравнению с значениями касательных напряжений и поэтому в этом случае для упрощения расчета влиянием нор­мальных напряжений ау можно пре­небречь.

Допустимость такого упрощения под­тверждается также и данными, пред­ставленными на рис. 69, из которого можно видеть, что поперечные силы, действующие на поверхности элемен­та, имеют гораздо меньшее значение для местных продольных напряжений, чем продольные силы.

Прямоугольный выступ. Для определения касательных напря­жений по подошве прямоугольного выступа стыкового шва можно применить схему расчета, основанную на учете различий в дефор­мациях отдельных частей соединения (выступающих частей шва и основного элемента). Уравнение деформации (рис. 38) будет иметь следующий вид:

Агх — Д2х + Кх, (V.37)

где Лхх — деформация основного элемента 1 на участке длиной х; А2х — деформация выступа шва 2 на том же участке;

X* — искривление плоского сечения, находящегося на рас­стоянии х от середины выступа.

Деформации, входящие в это уравнение, могут быть выражены через напряжения следующим образом:

(V.38)

где и а2 — средние значения нормальных напряжений основ­ного элемента и выступа шва в среднем поперечном сечении;

тх — касательное напряжение по подошве выступа шва; с; Ъ — размеры соединения.

(V.39)

После подстановки соответствующих значений и некоторых преобразований уравнение деформаций может быть представлено дифференциальным уравнением:

хх а хх — 0,

где

2 -,/2fc(c + 6)

6 Г с

(V.40)

Окончательное решение этого уравнения для данных условий имеет вид

хх - sh ах,

где

ch al — 1 6 + 2с

1° ас 6

При решении уравнения (V.39) для определения двух произ­вольных постоянных были использованы следующие два гранич­ных условия:

о

Первое из них определяется условием симметрии сварного со­единения относительно его поперечной оси, а второе — из усло­вия равновесия отсеченного выступа шва.

Приведенное решение относится к упрощенной модели стыко­вого соединения с прямоугольными выступами. Форма выступов реальных стыковых швов отличается от прямоугольной и является более сложной. Однако учет такой криволинейной формы сильно усложнил бы вид исходного уравнения деформаций, что затруднило бы решение поставленной задачи.

Наклонный выступ. Рассмотрим еще иное упрощение, при котором выступы стыкового шва принимаются наклонными (рис. 39).

Рис. 39. Расчетная схема соединения с наклонными выступами: а — схема деформаций соединения; б — схема действия нагрузки на отдельные части

При расположении начала координат по схеме рис. 39 уравне­ние деформаций будет иметь вид

Ахх + Кх = Д2лг. (V.41)

Деформации, входящие в это уравнение, могут быть выражены через напряжения в следующей форме;

^1* = - g" I ( а ~ ДГ I%xdx) dx’

(V.42)

/S„X = - ЕГ

c (x + h)

^тггу j Хх dx j dx.

Если при этом зависимость местных деформаций от касатель­ных напряжений будет принята как и прежде по закону прямой пропорциональности

h = ^, (V.43)

то уравнение (V.41) может быть представлено в следующем виде:

{G~~ri'txdx)dx + ~^r = х + 10 r*dx> (v-44)

где а — среднее нормальное напряжение в поперечном сече­нии основного элемента; а — коэффициент деформации поперечного сечения; с — наибольшая высота выступа;

Ь, 11, 10 — размеры соединения (рис. 39).

После двойного дифференцирования уравнения (V.44) и неко­торых преобразований может быть получено следующее дифферен­циальное уравнение для определения касательных напряжений:

<* + 6К + Т^<-в<2“ + ЛК = --5^, (V.45)

где

А — 2 cl0 + б 1г;

Это уравнение представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Общее решение этого уравнения еще не найдено и получение его весьма затруднительно. Поэтому практически целесообразным является получение приближенного решения.

Приближенное решение этого уравнения может быть принято в виде ряда, необходимое число членов которого будет опреде­ляться в зависимости от требуемой степени точности.

Попытки составления приближенного решения этого уравне­ния в степенных рядах показали, что такой путь является весьма трудоемким. При этом оказалось, что, с одной стороны, для обе­спечения достаточно высокой точности требуется большое коли­чество членов ряда, тогда как, с другой стороны, упрощение реше­ния путем уменьшения в нем числа членов ряда приводит к тому, что эти решения, по существу, уже могут удовлетворять более простым по виду дифференциальным уравнениям.

Это противоречие указывает на то, что упрощение поставлен­ной задачи следует прежде всего искать в процессе составления исходного дифференциального уравнения и доведения его при этом до такого вида, при котором принимаемое решение (хотя бы и приближенное) имело бы с ним более близкую связь.

Вводя некоторые упрощения, исходное дифференциальное уравнение для определения касательных напряжений в сечении по подошве наклонного выступа можно представить в виде

(ду — h) т" - (aoxi — bo) гх = — ’ (V-46)

Такое упрощение, которое в основном сводится к исключению из уравнения (V.45) члена, содержащего первую производную, существенно облегчает решение. Это достигается за счет допуще­ний, принятых в процессе второго дифференцирования правой

Рис. 40. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных о распределении касательных напряжений в сечении по подошве выступов моделей (см. рис. lll - ii — для прямоугольного выступа (6 = 200 мм; I — 100 мм; с = - 50 мм); б — для наклонного выступа (6 = 200 мм; I = 100 мм; с = 60 мм; с0 = 2 мм)

части уравнения (V.44). На этом этапе преобразований среднее удлинение наклонного выступа условно рассматривается как удлинение выступа постоянной высоты.

Окончательное решение уравнения (V.46) имеет вид

** = <’.[1пА7ГІ+тЧ^+1-Т^Г1пІ)]- <V-47>

При этом и сам вид окончательного приближенного решения и все необходимые вычисления становятся значительно более простыми.

Сопоставление расчетных и экспериментальных данных. На рис. 40 для сопоставления представлены расчетные кривые, построенные по формулам (V.40) и (V.47), и экспериментальные данные, отмеченные точками.

Приведенные данные показывают, что касательные напряже­ния в сечении по подошве выступов стыковых швов (приведенные данные относятся к моделям) распределяются неравномерно. В рай­оне у начала выступа наблюдается значительное повышение напря­жений. При наклонных выступах непосредственно у самой границы имеет место некоторый спад напряжений, который отмечается как по расчетным, так и по экспериментальным данным.

При наклонных выступах между экспериментальными и рас­четными данными наблюдается некоторое расхождение, но

характер изменения напряжений расчетом отражается довольно правильно. Это дает основание сделать вывод о допустимости принятых в расчете упрощений.