Выше было отмечено, что появление временных и остаточ­ных деформаций и напряжений при сварке связано с объемными изменениями металла. Определил количественные зависимости между величиной и распределением объемных изменений в метал­ле, с одной стороны, и величиной и характером распределе­ния деформаций, напряжений и перемещений в балочной конст­рукции - с другой. Рассмотрим балку таврового сечения с пря­молинейной осью и в центре тяжести ее левого торца поместил начало системы XYZ, направив ось X вдоль ее длины, {і оси Y и 2 - вдоль главных осей поперечного сечения**' (рис.2,7,а). Выделим двумя бесконечно близкими сечениями,

х) Здесь под изменением объема понимается его увеличение или уменьшение в направлении оси балки X, т. е. обуслов­ленное стремление продольных волокон балки изменить свою длину, и рассматриваются напряжения и деформации вдоль ЭТОЙ оси.

хх) Будем различать местные системы координат хуг. , связан­ные со швами, в которых ось х направлена вдоль оси шва, и общую систему координат XYZ, связанную как ука­зано, с балочной конструкцией.

зо

перпендикулярными к оси X, участок балки Ах, отнесем его к единице ДЛИНЫ и изобразим в увеличенном виде (рис.2.7,б).

Рис.2.7. Деформации тавровой балки в сечении К вследствие температурных и пластических деформаций

Предположим теперь, что на части площади сечения балки FTp в результате нагрева или пластической деформации происходит из­менение объема металла, вследствие которого продольные во­локна в пределах этой площади стремятся удлиниться (или уко­ротиться) на величину ( tT и tj. - соответ­

ственно температурные и пластические деформации). Иначе го­воря, при условии обеспечения свободного изменения объема волокна в пределах площади FTp изменили бы свою длину на

величину . При этом погонный объем выделенного участка балки изменился бы на величину AF, если по сечению

балки неодинаковы (рис.2.7,б), и на величину vx-PTpE^ ,

если в пределах площади FTp относительная деформация етх всех волокон одинакова (рис.2.7,в).

Однако свободное изменение объема не обеспечивается, так как, во-первых, волокна, стремящиеся изменить свою длину, связаны с волокнами, которые стремятся ее сохранить, а, во - вторых, смежные участки полосы, испытывающие такие же (иля почти такие же) температурные и пластические деформации, стремятся приобрести аналогичное изменение формы. Иначе

говоря, свободное изменение объема привело бы к тому, что

плоские сечения, ограничиващие смежные участки искривились бы по закону изменения £Т* , что

в силу сплошности тела. Более того, для стержней и балок справедлива гипотеза плоских сечений, согласно которой сече­ния, плоские и перпендикулярные к осевой ЛИНИЙ до деформа­ции, остаются плоскими и перпендикулярными к осевой линии и после деформации. Поэтому изменение объема выделенного уча­стка балки вследствие температурных и пластических деформа­ций (суммарная эпюра которых заштрихована на рис.2.7,6 ко­сыми линиями) вызовет смещение и поворот сечения inn в поло­жение m'n* . Таким образом, прямая m'n' характеризует полные (действительные) относительные деформации £х. Принимая во внимание, что поворот между сечениями, ограничивающими уча­сток балки единичной длины (т. е. отнесенный к единице длины), определяет кривизну CY балки в данном сечении, можно полную деформацию произвольного волокна определить по уравнению пря­мой

(2.25)

где £х - полная деформация волокна, проходящего на расстоя­нии Z от оси балки, вызванная смещением и поворотом сече­ния; &х0 - полная деформация в направлении оси х. - волокна, проходящего через центр тяжести сечения балки (отрезок 0Ч0);

Су - кривизна оси балки относительно оси Y, принимается положительной, если центр кривизны расположен в направлении оси Z (на рис.2.7,б - кривизна отрицательная; на рис.2.7,в - положительная).

Указанное смещение и поворот сечения приведут к возник­новению упругих деформаций укорочения и удлинения (их эпюры на рис.2.7 показаны прямой штриховкой) и соответствующих им напряжений. Эти напряжения в пределах площади FTp будут сжи­мающими, если в этой области происходит увеличение объема металла (е^£> 0), и, наоборот, растягивающими, если металл здесь стремится сократиться ( ££ < 0).

В соответствии с (2.8) для определения напряжений в се - чешп; балки имеем соотношение

(2.26)

Так как выделенный участок балки должен находиться в равновесии, то суша внутренних сил и суша моментов внут­ренних сил должны быть равны нулю* , т. е. должны быть соблю­дены условия равновесия (1,1):

(2.27)

где интегрирование распространяется на всю площадь попереч­ного сечения F.

В общем случае модуль упругости зависит от температуры и изменяется по сечению балки. Однако, как было отмечено в §2.1, изменением модуля упругости можно пренебречь и при­нимать его постоянным. Тогда входящие в уравнения (2.27) ин­тегралы становятся равными

W-F 1 Z4F*0 , zadF=IY п WVcLF=irJp F Г Г г

и искомые величины определяются непосре ЯТВЄННО по формулам

с -■ ж

tx0 р

где Zt - координата центра тяжести объема v£p ;

JeJzAF

1*4

Формулы (2.28) устанавливают количественные зависимости между изменением объема, приходящимся на единицу длины балки (погонным объемом удлинения или укорочения), и параметрами

х) Полагаем, что рассматриваемая балка свободна от внешних нагрузок и является статически определимой.

деформации сечения £х0,Су. Зная последние, можно определить

полную деформацию и напряжение в произвольной точке сечения. Так, подставляя (2.281! в (2.25") и (2.26), получил соответ­ственно

где ry=|/iv/p - радиус инерции сечения балки.

Зависл-шости (2,28) можно представить е форме, аналогич­ной той, которая дается в курсе "Сопротивление материалов" для балок, подвергаемых вне центренному сжатию юш растяже­нию. действительно, умножая числители и знаменатели правых частей формул (2.28) на модуль упругости, получим

Величина Мтр характеризует величину усилия, которое, будучи приложено в центре тяжести объема ттхр, вызывает те же параметры деформации сечения, что и изменение объема ме­талла. приходящееся на единицу длины балки. Такое написание формул для определения характерных деформаций сечения балки позволяет свести определение деформаций балочных конструк­ций, обусловленных объемными изменениями металла, к решению задач об изгибе бруса.

Для определения перемещений точек оси балки имеем изве­стные из сопротивления материалов дифференциальные зависимо­сти

d-Ц-х _

cLx 1 Axa "LV

где U-3C, , и, й - продольные и поперечные перемещения точек оси балки. Первая из них (1.2) была получена ранее, вторая непосредственно вытекает из выражения для кривизны. Действи­тельно, кривизна tY и радаус кривизны р изогнутой линии а-*,(х) определяются через ее производные по формуле

а в реальных балках.

Интегрируя первое уравнение (2.33) от 0 до L, находим изменение длины балки по ее центральной оси

L

(2.34)

О

Подставляя значение к0 из (2.28) к учитывая (2.15),

имеем

где AVxP = ^irxdLx - изменение объема балки, обусловлен - о

ное удлинением (укорочением) ее продольных волокон вслед­ствие температурных и пластических деформаций.

Проинтегрировав второе уравнение (2.33) в пределах от О до X, находим угол поворота сечения

о

Интегрируя уравнение (2.36) еще раз от 0 до X, полу­чим уравнение изогнутой продольной оси

х X

Постоянные интегрирования ц>у(0) нДО) характеризуют угол поворота и поперечное перемещение оси балки в нулевом сечении (X = 0).

В общем случае объемные изменения металла распределяют­ся по длине балки неравномерно; могут быть переменными и ха­рактеристики поперечного сечения F(X) , Iv(x) , Zt(X) . Поэто­му закон изменения параметров деформации сх0 я CY по длине балки иногда сложен, и тогда уравнения (2.34), (2.36), (2.37) интегрируют численно. При этом кривизну Су(Х) представляют в виде фиктивной распределенной нагрузки ^(Х) на фиктивной

балке (рис.2.8,а)х. Тогда полученная фиктивная перерезываю­щая сила Q.00 и фиктивный момент М(Х) соответственно рав­ны углу поворота сечения іру(Х) и прогибу иг(Х) . Этот при­ем основан на том, что сила Q. и момент М от распреде­ленной нагрузки тоже определяются аналогичным интегриро­ванием :

Изгибающий момент в сечении X, опре делящий прогиб в этом сечении (рис.2.8,г), равен

Отсюда максимальный прогиб в среднем сечении балки (стрелка прогиба'

• (2-40)

Здесь знаки угла поворота и поперечные перемещения приняты согласно известным правилам сопротивления материалов для пе­ререзывающей силы к изгибащего момента.

Аналогично можно получить формулы для определения про­гибов балки для случаев, когда объемные изменения охватывают лишь ее часть или переменны по длине.

Pi;с.2.9. Несимметричные относительно осей Y и Z температурные к пластические деформации, вызы­вающие изгиб тавровой балки относительно нулевой

линии п-п

Выше мы рассмотрели симметричную относительно оси Z балку и предполагали, что объемные изменения так:*., симмет­ричны относительно этой же оси. Если эти условия не соблю­дены, то изгиб балки происходит относительно так называемой нулевой линии (прямая п-п ), отсекащей на осях отрезки

(рис,2,9):

3 s-том более общем случае к двум параметрам деформация сече­ния (2,28) добавляется третий Cz - проекция кривизны на ■■■лоскость XOY „ определяемый аналогично Cv с очевидной за­меной Zt/lv на Yt/Iz, где Yt - вторая координата ЦТ объема uj. При этом полные деформации в произвольной точ­

не сечения могут быть определены со уравнению, аналогичному '.2 .ВО);

В частности, в центре тяжести объема удлинения или уко­рочения ( Y=Yt, Z = ZC ) полные деформации равны

(2.43)

Введем цонятие приведенной площади сечения балки: эта величина характеризует жесткость балки на изгиб, обусловлен­ный объемными изменениями металла:

Если сг-.нтр тяжести объема удлинения (укорочения) совпа­дает с центром тяжести сечения балки, то Fnp=F ; в против­ном случае Frp будет тем меньше F, чем больше по абсолют­ному значению координата Yt и Zt, т. е. чем дальше от центральны^ осей происходят объемные изменения металла.

С учетом (2,44) выражение (2.43) можно переписать в компактном виде, аналогичном формуле для определения полной деформации в центре тяжести сечения балки (с заменой F на

тр Vx_

ПР

Расчетные формулы (2.28М2.451 остаются в силе и при учете изменения модуля упругости. Однако величины, входящие в щ;д, должны быть вычислены с весовым множителем Е/Е0 , а

'тленно:

где vjp - обобщенный погонный объем удлинения (укорочения), см2; F, Iy, Tz - обобщенная площадь и моменты инерция сечения

Л—^ *1

относительно главных обойденных осей сечения балки V 1 см Е0 - значение модуля упругости при нормальной температуре.

Обобщенные главные оси сечения балки Y и I находятся из условий

j-^YcLF'0, j|^ZAF=0 ,^|-Y2dF=0 f (2.4?)

а координаты центра тяжести обойденного объема по формулам

v4Sr„?dF. ч4)1;г4Р ■ 'лж

При вычислении интегралов, фигурирующих в формулах (2.46), следует разбить площадь сечения балки на элементы, определить температуру центра тяжести этого элемента (и. в

зависимости от нее - модуль упругости) и заменить интегралы соответствующими суммами.

Учет изменения модуля может привести к существенным по­правкам при рассмотрении деформаций балки малой жесткости і: высоких уровнях нагрева и при применении металлов с модулем упругости, резко падающим с повышением температуры. Посколь­ку весовые множители входят в подынтегральные выражения как числителя, так и знаменателя основных расчетных формул (2.23), то его учет обычно приводит к незначительным поправкам, а влияние может быть отнесено ко вторичным эффектам.

Расчетные формулы, полученные в настоящем параграфе, являются общими в том смысле, что связывают объемные измене­ния металла с напряжениями, деформациями и перемещениями ба­лочной конструкции независимо от причины, вызывающей эти из­менения. Их можно применить не только для определения дефор­маций, напряжений и перемещений, возникающих при сварке, но и при других технологических процессах, связанных с объемны­ми изменениями металла. Действительно, при выводе указанных формул не делалось никаких ограничений в отношении характера распределения объемных изменений металла в балке. Поэтому они справедливы для определения как временных, так и оста­точных сварочных деформаций и перемещений балочных конетрук-

х)

дан от продольных и поперечных швов,, Температурные и плас­тические деформации, возникапцие в процессе сварочного на­грева и посіле дующего остывания, непрерывно изменяются. Оче­видно, что после полного остывания температурные деформации становятся равными нулю, а пластические завершают свои изме­нения, превращаясь в остаточные. Следовательно, для расчета остаточных напряжений следует найти лишь распределение по сечению полосы остаточных пластических деформаций. Решению стой задачи, т. е. определению остаточных пластических дефор­маций, мы уделим основное внимание. Оно затрудняется двумя обстоятельствами;

Р определение остаточных пластических деформаций тре - ііуст изучения истории их развития (см. § 2.2);

21) пластические деформации зависят от полных де­формаций (см. уравнение (2.6)) , в то время как для опре­деления последних необходаио знать распределение пластиче­ских деформаций.

Первое затруднение преодолевается обычно путем посте­пенного (пошагового) рассмотрения процесса, т. е. путем изу­чения упругопластических деформаций в сечении в отдельные последовательные моменты времени. Для преодоления затрудне­ния, обусловленного взаимосвязью между полными и пластиче­скими деформациями, используют на каждом шаге по времени ме­тоды последовательных приближений. Однако такой путь решения задачи является весьма трудоемким, и потому он годится толь­ко при использовании ЭВМ (см. гл.7). Учет ряда особенностей процесса развития упругопластических деформаций при сварке позволил разработать более простые методы решения указанной задачи, которые излагаются в 4-й главе.

Следует, однако, отметить, что в районе резкого изменения обтемннх изменений по длине балки (начало и конец зто - дольного^шва, район поперечного шва, зона вблизи свароч - н°й дуг:г ее сечения искривляются и полученное решение, основанное ні-' гипотезе плоских сечений, дает погоешно - стп.