Как было отмечено в подразд. 1.2, математи­ческие трудности совместного решения задач переноса количе­ства движения, массы и энергии в сложной системе обусловли­вают необходимость разделения энергетической (тепловой) .и гидродинамических задач для каждого из потоков теплоноси­телей.

Задача о распределении скоростей и давлении в потоке вяз­кой жидкости определяется системой уравнений Навье—Сток­

Са (1.2)

TOC o "1-5" h z 11а> др / 1

Р — = — аГ + ^ (V2“»* + -3 йУИ)) + pgx,

Ёшу ЭР . / , . 1 .

Р + I» (уЧ/ + у «Ну ш) + р

<1и), дР I 1

Р = — “57 + ц (V*»« + - у <Ну т} +

Уравнением сплошности (1.5)

1 ёг, дшх, дшу, дшг _ п.

р <*т + дх + ду ' дг

Уравнением состояния для сжимаемой жидкости р =/(Я,0 (1.61) п краевых условий.

Отыскание точных решений уравнений (1.2) — (1.5) натал­кивается на непреодолимые трудности, обусловленные прежде всего нелинейностью уравнений, не допускающих применение принципа наложения. Точные решения уравнений Навье — Сток­са получены лишь в некоторых частных случаях [104].

Отмеченные обстоятельства способствовали развитию мето­дов, позволяющих упростить уравнения Навье — Стокса, чтобы получить их приближенное решение. При течении реальной

Жидкости влияние сил вязкости различным образом проявля­

Ется во внешнем потоке и в пограничном слое. Во внешнем по­токе действие сил вязкости несущественно и можно считать течение потенциальным. В тонком пограничном слое и вблизи

Да

Твердого тела градиент скорости щ в направлении, пер­пендикулярном к стенке, очень велик. Вязкость а, сколь бы мала она ни была, оказывает существенное влияние на течение,

Ибо касательное напряжение т может принимать

Большие значения. Допущения, положенные в основу уравнений пограничного слоя, сделали их значительно проще уравнений Навье — Стокса, но все же они остаются достаточно трудными
для решения. Поэтому в последние два десятилетия интенсивно развивалась вычислительная гидродинамика, направленная на разработку численных методов решения уравнений Навье — Стокса и уравнений пограничного слоя [71].

Если принять во внимание, что в любом теплообменном ап­парате рекуперативного типа течение жидкости происходит в системе последовательно соединенных каналов различной гео­метрической формы с возможными внезапными расширениями или сужениями и поворотами потока, то возможности решения гидродинамической задачи течения в такой системе методами современной вычислительной гидродинамиики следует считать весьма проблематичными. Однако, если учесть, что большинство каналов для течения теплоносителя в рекуперативных теплооб­менниках представляют собой осесимметричные прямые каналы или каналы, которые могут быть приведены к ним, то это по­зволяет с достаточной степенью точности рассматривать тече­ния в этих каналах как одномерные. Одновременно в инженер­ных задачах нас в большей мере интересуют установившиеся течения среды. В таком случае уравнение Навье—Стокса, за­писанное в цилиндрической системе координат, имеет вид

(1.62)

Течение, описываемое уравнением (1.62), известно как течение Хагена — Пуазейля в трубе.

Граничными условиями в этой задаче будет ьо = О при г — — Я по всей длине трубы. Решение имеет вид

(1.63)

Средняя скорость в поперечном сечении

А объемный расход через сечение канала

(1.64)

Отсюда, введя число Рейнольдса, получим

_ е! Р _ 64 I рк>2

~2г ТЯ!} 2

Рассматривая изменение давления на конечной длине цилинд­рического канала, записываем

64 1 рш2

Яё~0~2~

В технических расчетах принято связывать перепад давлений со средней скоростью, вводя безразмерный коэффициент

Сопротивления X * и полагая, что падение давления пропорцио­нально динамическому напору:

ЛР __ 1 ри2

~ЧГ~К ~3 2~'

Следовательно, при ламинарном режиме течения в круглой трубе Х* = 64'Ке (1.67). В случае ламинарного режима течения в не­круглой трубе ).* = у64/Ие. Как показано в работе |14|, для коль­цевой щели ср = 1,5, в квадратном канале = 0,89. Для любого канала прямоугольного сечения значения лежат в пределах

0, 89 — 1,5.

Равенство (1.67) выражает закон сопротивления для круг­лой трубы. Так как этот закон наилучшим образом подтверж­дается экспериментом [104], можно утверждать, что решение

(1.63) есть точное решение уравнения Навье — Стокса.

Поскольку уравнение (1.66) позволяет рассчитывать потери давления в прямых трубах круглого сечения при течеиин ре­альной жидкости, математическую модель описания гидроди­намики стационарного течения в каналах теплообменных аппа­ратов представим как уравнение Бернулли в виде

Р**, + Рх + = Рвх, + Р2 + + ДЯ (1.68)

И уравнение сплошности в форме V = до/7 (1.69). Последнее ис­пользуем для определения средней по сечению канала скорости по участкам системы трубопроводов, а уравнение Бернулли — для определения давлений в конце 1-го участка канала.

Гидравлические сопротивления всего тракта или его участка получаем как сумму всех потерь давления, вызванных трением, местными сопротивлениями и потерями на ускорение неизотер­мического потока:

К к I т ш2-

АР = ^ АРс = 21 ^тр, + Е £„/, 4- 121- (1-70)

Математическая модель стационарного течения в каналах теплообменных аппаратов построена на использовании коэф­фициентов сопротивления, определяемых в эксперименте и обоб­щающих эксперимент.

Данные по коэффициентам сопротивления трения и местным сопротивлениям для характерных каналов и элементов тепло­обменных аппаратов приведены в гл. 2.