Напряженное состояние многослойных рулонированных оболо­чек в области упругих деформаций оценивают с помощью разрабо­танных методов теории упругости. При неупругом деформировании многослойных оболочек, которое может иметь место в процессе из­готовления (операции намотки, экспандирования) или эксплуатации, определение напряженного состояния расчетным путем, учитывая неоднозначность связей между напряжениями и деформациями, сложный характер нагружения в различных слоях, встречает зна­чительные трудности. Известные экспериментальные методы основа­ны на использовании модельных материалов или требуют свободно­го доступа к поверхности исследуемого объекта, что практически неосуществимо по отношению к внутренним слоям.

Ниже рассмотрен метод оценки напряженного состояния в от­дельных слоях многослойной конструкции за пределом упругости, основанный на учете характера упрочнения материала конструкции в процессе пластического деформирования. Постановка подобной за­дачи в общем виде дана А. А. Ильюшиным [1], ее приближенное ре­шение применительно к частному случаю плоского напряженного состояния получено в работе [2].

Как показывают экспериментальные исследования, граница те­кучести начально изотропных пластических материалов удовлетво­рительно описывается условием постоянства энергии формоизмене­ния [3]

СТі = От, (1)

где

Oi = Si;] и (і, 7 = 1, 2, 3); (2)

<Ji — интенсивность напряжений; о, — предел текучести при одно­осном растяжении; sy — компоненты девиатора напряжений, причем

і === (^)

— компоненты тензора напряжений; 6 ij — символ Кронекера,

о0 = он — среднее напряжение|.

Условию (1) в пятимерном пространстве А. А. Ильюшина {£;} соответствует сфера

SiSj — Щ (4)

с радиусом Я0. Компоненты Si пространства {5;} связаны с компо­нентами Sij соотношениями [1]

“ j/" ~2~ sii' ^2 = ^2 ^22 S33^’ ^

S3 = |/"2sla, = V 2s23, S& = ]/r2s31.

В процессе пластического деформирования сфера (4), описываю­щая границу текучести, смещается в направлении траектории на­гружения и изменяет свои размеры [4], в связи с чем уравнение (4) приобретает вид

(S — a, i)(S — а;) = R2 (і = 1, 2, 3, 4, 5). (6)

Здесь — координаты центра границы текучести; R — текущий

радиус этой границы Как правило, R > Яа. При этом смещение гра­

ницы текучести характеризуется вектором

а = а1 + а2 + а3 + а4 + аб1 (7)

где

а | = а = (а. а^'Ч (8)

Заметим, что величины a, R и а, связаны соотношением

которое является следствием инвариантности функций а (є?), R и сгі (sp, где є? — интенсивность пластических деформаций, определя­емая из выражения

е?=(4 еіеЦи (Ю)

(еР. — компоненты девиатора пластических деформаций). С учетом

IJ

условия несжимаемости ef. = 0 равенство (10) примет вид

е?=(4е^)7‘' <14>

где eg — компоненты тензора пластических деформаций.

Таким образом, решение поставленной задачи сводится к опре­делению входящих в равенство (6) параметров сц и R. Величина интенсивности напряжений ст;, соответствующая некоторой вели­чине интенсивности пластических деформаций ef, определится с уче­том (8) из выражения (9).

Значения компонент и оц найдем из условия смещения гра­ницы текучести в направлении траектории нагружения. В том слу­чае, если траектория нагружения описывается прямой* согласно указанному условию получаем

^1' _ *^а _ $3 __ ^4 ^5 (І2)

^2 й3 ^4 аЪ

Интенсивность пластических деформаций может быть определена из известной функции (Si (ef), определяемой из диаграммы а (е?) одноосного растяжения. Действительно, полагая (2)

Oil = °22 = °ЯЗ = 7 СТ23 = ff31 =

а в (И)

Є11 = ЄР’ Є22 ~ Є33~ 2* еР’ = Є23 = ®31 =

получаем

Ст{ == ст; є? = еР.

Интенсивность полных деформаций є; найдем как сумму интен­сивностей г упругих и ef пластических составляющих* где* по ана­логии с (11)* имеем

&* = (ireifv)1'' ;13)

причем значения е*. определяются из закона Гука

еЬ ~ ~2G~ ’

где G — модуль сдвига.

Для иллюстрации предложенного метода рассмотрим напряжен­ное состояние цилиндрической многослойной оболочки, нагружен­ной внутренним давлением и осевой растягивающей силой, когда ма­
териал наружного слоя находится в условиях двухосного растяже­ния в осевом и окружном направлениях, а внутренние слои, кроме этого, испытывают еще и радиальное сжатие. Компоненты тензора напряжений для внутренних слоев в ортогональной системе коор­динат z, 0, г, где ось 2 совпадает с осью оболочки, а оси 0 и г ориен­тированы соответственно в окружном и радиальном направлениях, запишутся следующим образом:

(Ті! = стг; ст22 = сте, О33 = сгг <т12 - ст23 = = 0.

Подставляя эти значения в выражения (5), с учетом (3), получаем

аг —=- (ов + Or)

S2 = -^-(ae-ar); (15)

2

s3 = s4 = sb = 0.

При этом из соотношений (12) следует, что а3 = а4 = аъ — 0. В этом случае выражение (6) упростится и примет вид

(S1 - at)2 + (St - a2f = R (16)

причем, согласно (8), имеем

а = V а + а. (17)

Из (15) следует, что как для внутренних, так и наружного слоев <т, = 0 граница текучести будет описываться окружностью (16). Таким образом, интенсивность напряжений, согласно равенству (19), равна

а; = с« = У ±.<У а + <& + В), (18)

д из (12) и (15), полагая az = ог°, а& = стг = (здесь индексом

«0» обозначены фиксированные значения a;, az, ав, ог, следует

о..о _о

1 _Ч-ае~°г.=^ (19)

/3 о» - аг° а2

При этом величина о?, выраженная через компоненты аи

а°, при подстановке в (2) ст° r — а“г = 0) будет равна

о" = V(а°2 - а'в)2 + (а°в - a°rf + (а'1 - а%) (20)

Для того чтобы система уравнений (19) и (20) была замкнутой, необходимо дополнительное условие, устанавливающее соотношение между о“ и о“ или величину а“, например, из геометрических со­ображений или на основании известного усилия натяжения по­лосы при намотке оболочки. Если пренебречь радиальной состав­ляющей а°п то выражения (19) и (20) упрощаются и приобрета­ют вид

-75Г = ^ (21)

а? = V(а'1)2 - а°С0 + (а©)2. (22)

Из совместного решения уравнений (21) и (22) находим

,, 1 (У^Зл, + а2) о®

а, =

№ Va? + Л

о« = -==- л ~ ■ . (23)

Vі VA + 4

Схема вырезки образцов из 1 с

элемента обечайки. Поскольку, как указывалось выше,

граница текучести описывается окруж­ностью, то для определения координат ее центра аи а2 и радиуса R достаточно знать три принадлежащие ей точки. Наиболее точное решение может быть получено, используя в качестве таких точек пределы текучести а, , ae-j и ог, при растяжении в направлении осей z, 0 и г.

Поскольку толщина слоев невелика (для рулонированных труб она составляет 4—5 мм), то определить предел текучести агт не пред­ставляется возможным. В связи с этим для нахождения значений,; входящих в выражения (19), (20) и (21) параметров аи а2 и R, вос­пользуемся приближенными формулами [5]

а _ 1 qer (gzT ~ gT45> + gT45 (ffeT ~ ^A

1 агТ°вТ — gT45 (gz T + авТ)

Сіл -------

У 2 агГ (°0Г аТі5* "Ь а0Г (2azT — gT45) — °Г45 ^агТ “1“ авт'і

6 а2ТавТ ~ аГ45 (агТ + ает)

й= V (і/Л'1_СТгТ_ fllj +а2’ (25)

где От kb — предел текучести в направлении, образующем с осями z и 0 угол 45°. Пределы текучести агТ, ант и оты определяются из опытов на одноосное растяжение образцов, вырезаемых из конструк­ции (рисунок).

Если функции а і (еР) и a (еР) известны, то при определении ис­комых параметров можно ограничиться значениями двух пределов текучести агт и авт, воспользовавшись для вычисления значений а1г а2 и R методом последовательных приближений, описанным в [6].

В качестве примера определим уровень и вид напряженного со­стояния в трубе из стали 09Г2ФБ, подвергнутой пластическому де­формированию, на основании испытаний на растяжение образцов, вырезаемых из стенки трубы. Из диаграмм растяжения [7] трех об­разцов, ориентированных вдоль, поперек и под углом 45° к продоль­ной оси, определенные по допуску на пластическую деформацию 6 = = 0,05 % пределы текучести имеют значения авт = 580 МПа; огт = 270; ото = 450 МПа. Подставляя эти значения в (25) и (17), получаем параметры границы текучести материала трубы: ctj = = —78 МПа; а2 = 127 МПа; а = 149 МПа; R = 324 МПа. Из выра­жения (9) находим интенсивность напряжений = 579 МПа. Уро­
вень напряжений вдоль оси и в окружном направлении обечайки при предшествовавшем пластическом деформировании определяем из выражений (23) а'г = —18 МПа; <j{j = 569 МПа.

Таким образом, предложенный метод оценки напряженной состояния применим к конструкциям, изготавливаемым из начально изотропного материала, нагружение которых осуществляется по - прямолинейным траекториям. Метод может быть также использован для оценки уровня напряжений при разрушении конструкции.