Известно, что количество опытов в полном фак­торном эксперименте значительно превосходит число определя­емых коэффициентов, т. е. ПФЭ обладает большой избыточ­ностью.

Та 2Л при к = 3 эксперимента 2* при к = 2

Рассмотрим полный факторный эксперимент 22. Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить уравнение функций отклика в виде

У =Ь0Х0 + Ь1Х< +Ь2Х2 + Ь[2Х1Х2. (15.5)

Если допустить, что в интервале варьирования факторов про­цесс может быть описан линейной моделью, то достаточно оп­ределить коэффициенты Ь0у ЬI, Ь2. Остается одна степень свобо­ды. При линейном приближении Ь|2~*-0 и вектор-столбец ХХ2 можно использовать для нового фактора Х3. В матрице плани­рования 22 поставим этот фактор в скобках над взаимодей­ствием Х^Х2.

При этом матрица планирования не теряет своих свойств. Однако мы не имеем раздельных оценок коэффициентов, которые были в ПФЭ. Оценки получаются смешанными: В -> р1 + (З23. £2 Рг + Р13, Вз рз + $12-

Так как мы постулировали линейную модель, парные вза­имодействия считаются незначительными. Вместе с тем оказы­вается возможным при изучении влияния трех факторов мини­мизировать число опытов и вместо 8 поставить 4.

Найденное правило сформулируем так: чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащей взаимодействию, которым можно пре­небречь. Тогда значения нового фактора в условиях опыта оп­ределяются знаками этого столбца.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной полнофакторного эксперимента 23, или «полурепликой». Если Х3 приравнять —ХХ2, получим вторую половину матрицы 23.

Реализовав обе полуреплики, можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия.

Матрица из восьми опытов для 4-факторного планирования будет полурепликой от ПФЭ 24, а для 5-факторного планирова­ния — четверть репликой от ПФЭ 25. Если в первом случае один линейный эффект приравнен к эффектам взаимодействия, во втором случае два линейных эффекта приравниваются к эф­фектам взаимодействия. Дробные реплики, в которых Р линей­ных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, обо­значаются как 2(табл. 15.5).

Необходимо помнить, что при разбиении матрицы планиро­вания на полуреплики нельзя механически распределять строки на две группы. При символическом написании матрицы плани­рования в первую полуреплику отбираются строки с нечетным числом латинских букв (соответствует определяющему контрас­ту + 1), во вторую — строки с четным числом латинских букв (соответствует определяющему контрасту —1).

Определяющим контрастом называется символическое про­изведение столбцов ХХ2Хз...Хк, равное +1 или —1, задающее элементы столбца Хо-

Определяющий контраст позволяет определить, какой эф­фект смешан с данным. Для этого необходимо обе части опре­деляющего контраста умножить на столбец, соответствующий данному эффекту (табл. 15.6).

Пусть есть две полуреплики 23_|, если X1X2X3 = 1, ТО Х( =

= ^1X2X3= Х2Х3, Х2=Х)Х2Хз= Х^Х3, Хз = Х[Х2Хз= Х1Х2 для первой полуреплики. Как уже указывалось, в этом случае гене­ральные коэффициенты ВI смешаны с парными взаимодействиями! В -* (3) -)- ^23, В2 -> ?2 + Э|з! в3 —> Зз + р12-

В теории планирования вводится понятие «генерирующее соотношение». Зто взаимодействие, с помощью которого гене­рируется соответствующий фактор.

При использовании дробнофакторного эксперимента необхо­димо иметь представление о так называемой разрешающей спо­собности дробной реплики, т. е. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответ­ствующих генеральных коэффициентов.

Например, в задаче с четырьмя факторами при выборе полу - реплики 24-1 возможно использование восьми генерирующих со­отношений: Х± =Х1Х2', Х4 = — ХХ2; Х4 = Х2Х3; Х4 = —Х2Х3; Х4 = Х1Х3', Х =—Х1Х3; Х4 = ХХ2Хз, Х4 = — Х1Х2Х3. ,

Возьмем в качестве генерирующего соотношения Х4 = Х1Х2Х3 тогда матрица планирования примет вид табл. 15.7.

Воспользовавшись определяющим контрастом Х1Х2ХзХ4 = 1, получим систему оценок: Х = Х2Х3Х4 &1-> Р1 + Р234; Х2 =

= Х[ХзХ4 62^^2 + ^134; Хз = ХХ2Х4 Ьз -> Рз + (Э124', Х4 =

= ХХ2Хз £>4 -> Р1 + Э123■

Тройные взаимодействия в реальных ситуациях чаще рав­ны нулю, чем двойные взаимо­действия, поэтому для оценки линейных эффектов следует брать генерирующее соотноше­ние X 4 — X1X2X3.

Полуреплика с максималь­ной разрешающей способно­стью дает наиболее достовер­ную оценку линейных эффек­тов.

При возрастании числа факторов целесообразно уве­личивать дробность реплик.

Например, при решении задачи с пятью факторами можно вос­пользоваться не полурепликой, а четвертьрепликой 25-2. В этом случае необходимо поставить не 16, а 8 опытов (см. табл. 15.3). Возможен выбор 12 генерирующих соотношений для факторов Х4 и Х5.

Допустим, выбраны генерирующие соотношения Х5 = ХХ2Х3 и Х. = Х|Х3, тогда определяющие контрасты будут Х1Х3Х4 —-1; ХХ2ХзХь = 1- Перемножив их, получим Х2Х4Х5 = 1. Обобщаю­щий определяющий контраст такой четвертьреплики 1 = X1X3X4 = X) X 2X3X5 = X 2X4X5.

В соответствии с правилами смешение эффектов взаимодействия генеральных коэффициентов определяем так:

X] = Х3Х4 = Х2ХзХ5 = Х1Х2Х4Х5, Ь -*■ р| + Р34 + Р235»

Хг = Х4Х - — Х1Х3Х5 = Х1Х2Х3Х Ь2 -*■ р2 + Р45 + Р135!

Хз = Х1Х4 = Х, Х2Х, = Х2Х3Х4Х5, Ьз -*■ рз + р 14 + р125*

Х4 = Х]Хз = Х2Х.5 = Х1Х2Х3Х4Х5, 64 -> 04 + р 13 + Р25»

Х5 = Х2Х4 = X1X2X3 = Х1Х3Х4Х0, &5 -*■ р5 + Р24 + &123"

Взаимодействия выше третьего порядка отброшены.

Так как линейные эффекты смешаны с двойными взаимодей­ствиями, следует выбрать другую четвертьреплику. Может быть

Полезным дополнение реплик, если при этом повышается поря­док эффектов взаимодействия, смешанных с данными.

Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы, смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от стратегии экспери­мента в случае значимости некоторых взаимодействий. Реплики, у которых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка, наиболее эффективны.

Процедура выбора реплик большей дробности аналогична.