/

Применяя метод Е. Букингэма [54], можно путем рассмотрения размерностей величин, входящих в данную функцию, получить безразмерные критерии. Ниже рассмотрим применение этого ме­тода к коэффициенту теплоотдачи для потока, движущегося в трубе. Прежде всего известно, что коэффициент теплоотдачи ка­ким-то образом зависит от скорости движения потока, диаметра трубы и физических. величин.

Следовательно,

,<х. = I (но, (1,4,1., ср, ч). (А1)

Каждую функцию в ограниченной области можно выразить степенью, причем показатель и коэффициент пропорциональности перед степенью являются двумя искомыми постоянными. Следо­вательно, в этом случае

А = С ■ и? • йь • ч ■ Iй - сер ■ ч* ккал/м2-час-°С. (А2) В этом уравнении:

А — коэффициент теплоотдачи, ккал/м2 • час • °С; но — скорость, м/сек й +г - диаметр, м;

■>)— вязкость, кГ • час/м2, причем 1 кГ = 1 кг-м/час2-, а — коэффициент теплопроводности, ккал/м • час • °С; ср—удельная теплоемкость, ккал/кг °С = ккал м/кГ - чае2 X X град;

7 — удельный вес, кг/м3 = кГ • час2/м4.

Следовательно,

Ккал/м*'часС = С • (м/час)а • мь(кг-час/м2)с • (ккал/м ■ час■ °С)а х

X (ккал - м/кг-час*град)е • (кг > час*/м*)/ (АЗ)

В этом уравнении размерности левой и правой частей должны быть одинаковыми. На основании этого условия имеем

TOC o "1-5" h z по ккал 1=^ + е; (А4)

По м —2 — а + Ь — 2с—<1+е—4/; (А5)

По час.—1 = —а + с—й—2е + 2/; (А6)

По °С —1 =—й — е (А7)

По кг 0 = с — е + f. (А8)

Даны а и е; следовательно, имеем

TOC o "1-5" h z из (A4) d — 1 — е; (А9)

Из (А8) с — е—/; (А10)

Из (А5)—2 — а + Ь— 2с — d + e— 4f. (All)

Решая уравнение (All) совместно с уравнениями (А9) и (А10),

Получим

— 2 — а + Ь — 2е + 2 f — 1 + е + е — 4 f;

—2=а+Ь— —'2 f. (А12)

В этом уравнении неизвестны Ь и f. По уравнению (А6) было

— 1 = — a + c — d — 2е — 2/;

Подставляя из уравнений (А9) и (А10) величины cud, получим

— 1= — a+f-l; (А 13)

F = а.

Из уравнения (А12)

TOC o "1-5" h z Ь = — 2 ■— а "I - 1 - f“ 2f (Al4)

B — — 1—a + 2a=a—1; (A15)

C = e — a. (A16)

Следовательно, из уравнения (A3)

А — С • wa • da~ 1 •>)е_а -l~ecep-f; (А17)

А = с • wa — • ------ —■ сер - f; (А 18)

D - rj“ Xе a d Л/^ ^*Та / Со ‘ т\е

— (А1®

Здесь у и т) отнесены на кг (но не кГ). Вводя же принятый в

Технике кГу т. е. вес 'в /сг, получаем

А • d

Это уравнение можно записать в сокращенном виде

N11 = С ■ Яе° • Рге. (А21)

Так как для газов критерий Прандтля (Рг) принимается посто­янным, а для идеальных газов он абсолютно постоянен, то урав­
нение (А21) © этом (случае запишется следующим образом:

N11 = Сг • Яеау

Или в развернутом виде

(К22)

(А23)<

Таким образом найдено уравнение (180), которое в первом слу­чае выведено на основе теории. подобия.

Следовательно, происходит удивительный факт: чисто фор­мальное рассмотрение р-азмерностей дает новые физические за­висимости, которые не могут быть получены как таковые из раз­мерностей. Например, из анализа размерностей следует, что, ес­ли коэффициент теплоотдачи возрастает пропорционально ско­рости в степени а, то уменьшается он пропорционально диамет­ру в степени (1—а).

Но такой результат принципиально может и не вытекать и& чисто математических соображений, так как известно, что мате­матика не в состоянии выявить физические факты, которые не были отражены уравнениями, описывающими данное явление.

Следовательно, в исходном уравнении (А2) должны содер­жаться все предпосылки, которые в математической форме име­ют физическое содержание.

Какие же это предпосылки?

Очевидно, (Мы не можем утверждать, что в уравнении (А2) коэффициент теплоотдачи принимается -пропорциональным №а' , или йьу так как этим нельзя определить соотношение а и Ь. Но* может ли а быть пропорциональным или йь? Нет, так как коэффициент а пропорционален лишь произведению &)а •йь. Это означает следующее.

Рассмотрим трубу диаметром с! у через которую протекает сре­да со скоростью т. Согласно предположению, которое, как было сказано, всегда допустимо в довольно широких областях, а в этой трубе возрастает пропорционально ма. Рассмотрим те­перь несколько труб различных диаметров. Во всех трубах сре­да протекает с установившейся скоростью хю. Тогда коэффици­ент теплоотдачи а, согласно предположению, изменяется пропор­ционально йь. Но как быть, если в этих трубах с различными диаметрами будет выбрана даая скорость? Тогда, естественно,, показатель степени при диаметре для каждой скорости мог бы принимать иное значение. Но в уравнении (А2) знаком умноже­ния или самой формой уравнения мы предполагаем, что пока­затель степени при диаметре не изменяется со скоростью и при всех скоростях должен оставаться постоянным, равным Ъ. Ана­логично в уравнении (А2) предположим, что показатель степе­
ни при ш должен быть равен а не только для всех скоростей при определенном диаметре, но и при других диаметрах.

. Тем самым при составлении исходного уравнения (мы, не зная этого наверняка, предполагаем. подобие потоков при различных скоростях и диаметрах дополнительно к формальной математиче­ской предпосылке, и исходное уравнение (А2) включает это пред­положение.

Таким образам, выясняется, как формальный подход к урав­нению (А2) позволил вывести критерии подобия.

При составлении дополнительных предпосылок необходимо учитывать и строго анализировать, какие существенные физиче­ские предположения содержит уравнение и не содержит ли оно несущественных предпосылок, которые могут оказаться и спра­ведливыми и несправедливыми, так как получаемый с большим трудом результат будет также соответственно правильным или неправильным [55].