Для поперечных (изгибных) свобод­ных колебаний тонких стержней также характерны узлы и пучности смещений и сил. Три первые формы изгибных колеба­ний тонкого, свободного на концах стерж­ня показаны на рис. 1.74.

Для низшей собственной частоты ха­рактерны два узла смещений, для каждой следующей собственной частоты число узлов увеличивается на единицу. Для и-го обертона число узлов смещения и + 1. В отличие от продольных колебаний стержня со свободными концами собст­венные частоты рассматриваемого стерж­ня не находятся в простых кратных соот­ношениях, т. е. не являются гармониками.

Распределение смещений по длине свободноколеблющегося тонкого (d « /.) однородного стержня произвольного се­чения [18]

chknx + cos кпх-

chknl - coskj sh k„l — sin knl

где kn = ypSml I El - волновое число;

S - площадь сечения стержня; I - момент инерции его сечения.

Значения к„ определяют как корни трансцендентного уравнения

ch к„ I cos к„ I = 1.

Основной частоте стержня соответ­ствует наименьший отличный от нуля ко­рень kl = ai= 4,730. Остальные корни достаточно точно выражаются формулой к„ = (2и + 1 )л/2. Их значения: а2 = 7,853; а3= 10,996; а4= 14,137.

Собственные частоты изгибных ко­лебаний стержня

г _ (К Ї? со (k„lf с0г

" 2 тс/2 S 2 nl2 ’

где г = - радиус инерции сечения.

При и > 1 формула принимает вид

,,.50)

Значения моментов инерции и собст­венных частот для стержней различных форм приведены в табл. 1.12. Формулы для определения частот справедливы при г/Х < 0,05 или/< 0,01 с,/г.

При изгибных колебаниях свободно­го на концах стержня крайние узловые плоскости находятся на расстояниях от его концов, равных для первой и после­дующих мод соответственно 0,22/, 0,13/, 0,096/, 0,07/. Эти точки обычно использу­ют для крепления (опор) образца при ис­пытаниях методом собственных частот в режиме изгибных колебаний. Ввиду меньшей упругости стержней по отноше­нию к изгибу, чем к растяжению-сжатию, низшие собственные частоты изгибных колебаний много ниже соответствующих частот продольных колебаний.

Применение собственных частот про­дольно - и изгибно-колеблющихся стерж­ней для неразрушающего контроля будет рассмотрено в гл. 4.