Многие задачи определения напряженного состояния решаются при помощи методов, разработанных в теории упругости. Ряд задач применительно к сварке при определенных допущениях

также может быть решен с использова­нием теории упругости. Рассмотрим общие положения метода.

Представим себе неравномерно на­гретое тело, в каждой точке которого известна температура. Если бы час­тицы тела не были связаны между собой, то каждая из частиц беспрепят­ственно увеличилась в объеме. Выделим из тела элементарный кубик (рис. 11). Вследствие бесконечно малых размеров кубика неравномерностью температуры вдоль граней можно пренебречь и счи­тать его равномерно нагретым до неко­торой температуры Т. Составляющие деформаций кубика от нагрева до тем­пературы Т будут равны

Уху = Уух = Y« = °- (2)

Устраним эти деформации, приложив ко всем граням кубика напряжения сжатия, равные

аТЕ.

а, = 0, = ^=-^. (3)

То что напряжения (3) создадут деформацию, равную аТ, можно проверить, подставив их в уравнение (4), связывающее деформацию с напряжениями:

= -є - [ах — Ц (оу + аг)].

Приложив к каждому элементарному объему соответствующие уравнению (3) напряжения, устраним полностью деформации от температуры. Затем «склеим» между собой все элементарные объ­емы. Напряжения на границах элементарных кубиков будут вы­читаться, а разность этих напряжений создаст так называемые объемные силы. По границам тела, где напряжения не вычитаются, после «склеивания» кубиков будут действовать поверхностные

аТЕ

силы сжатия, равные------- 1 _ 2|1~ •

В действительности в нагретом теле никаких поверхностных и объемных сил нет. Поэтому полученные нами фиктивные по­верхностные и объемные силы следует снять, приложив к телу силы противоположного направления. По поверхности тела сле­дует приложить нормальные поверхностные силы

у*

Внутри тела прикладывают объемные силы X, Y, Z, величину которых можно найти, если подставить напряжения (3) в дифферен­циальные уравнения равновесия (6), которые должны при этом у довл етво р я тьс я:

С учетом того, что объемные силы прикладывают с противо­положным знаком и что хху = хуг = хгх = 0, находим из урав­нений (6)

X = _ аЕ &L.. у ~ — аЕ —■ 7 _ «£ дТ

1 — 2ц дх ' I — 2ц ' ду ’ ^ 1 — 2ц ' дг 1

Таким образом, напряжения, возникающие от неравномерного нагрева тела, складываются из трех составляющих:

1) так называемых гидростатических напряжений растяжения или сжатия по всем направлениям

аТЕ I — 2(t ’

При повышении температуры знак Т следует принимать положи­ть111’ при понижении — отрицательный;

2) напряжений, возникающих от поверхностных сил (5);

•j) напряжений, возникающих от объемных сил (7).

Решение задачи о распределении напряжений в неравномерно нагретом теле состоит в отыскании этих трех составляющих.

Для случая тонкой пластины, где напряжения ог равны нулю, составляющие напряжения имеют несколько иной вид:

1) гидростатические напряжения в плоскости

2) поверхностные силы по краю пластины

Более подробные сведения о решении температурных задач можно найти в работах [ПО], [91]. Применим рассмотренный метод к определению напряжений в бесконечной пластине от мгно­венного линейного источника тепла. Температурное поле от та­кого источника без теплоотдачи [100] описывается следующим уравнением

Найдем температурные напряжения в пластине в предполо­жении, что металл является абсолютно упругим, а теплофизиче­ские и механические коэффициенты постоянны во всем диапазоне температур. Задачу будем решать в полярных координатах.

Составляющая гидростатического напряжения определяется просто по уравнениям (8) и (11):

Га

aEq dt ~~ 4^7

а'г ~ °‘г~ ~ (1 — (і) 4лШЄ

Температура на краю бесконечно большой пластины равна нулю. Поэтому поверхностные силы (9) также равны нулю и ни­каких напряжений в пластине не вызовут. Объемные силы (10), которые в полярных координатах запишутся как

D __ аЕ дТ

* ~ — 1 — ц дГ>

вызовут напряжения, для определения которых рассмотрим эле­ментарную объемную силу dR — Rdp на расстоянии р от начала
координат и определим напряжения от этой силы внутри и вне круга с радиусом р (рис. 12):

а) внутри круга с радиусом р

°г«= =-Чг^я; <13)

б) вне круга

_ __ J_ Р Рг л р.

°гнар ~~ 2 Г2

О,____ J_ М - Р~ л п

*нар о г%

_А

1 + р >n _ I + Р аЕЯ dt 4at ‘«ар" J 2 1 —р'8лЯ6/Є

'в

Суммируя напряжения (12), (15) и (16), находим

Аналогично находим о/.

aEqa dt і,

0=--------- ч-—5- V 1 — Є

2 л). 6 г,2.

Если решать задачу с осесимметричным распределением тем­ператур Т в общем виде, то получим

С аЕ с

°' = ~Т ~1*)Тг dr'

о

г

о,=-^--аТЕ + ^§ Trdr,

где С — произвольная постоянная, определяемая из краевых ус­ловий на наружном контуре пластины. Для бесконечной пластины С = 0.

Проанализируем полученные результаты. На рис. 13 показаны кривые напряжений ог, at и —аТЕ в безразмерных значениях

orA, atA; —аТЕА, где А —

п пн п

— -.. Величина —alb вы- аЬц at

ражает напряжения, которые возникают в стержне, нагретом до температуры Т, в случае жесткого закрепления его кон­цов.

Обращает на себя внимание сложный характер распределе­ния напряжений аг и otl кото­рый существенно отличается от характера распределения тем­ператур. Несмотря на то что во всех точках пластины произо­шел нагрев металла и, каза­лось бы, должны действовать только сжимающие напряже­ния, в пластине имеется зна­чительная область с растягивающими напряжениями о). Мак­симальные напряжения при г = 0 в 2 раза меньше величины —а ТЕ. Это объясняется податливостью окружающего металла вследствие упругости по сравнению с абсолютно жестким его за­креплением. Полученные результаты косвенно указывают на не­обходимость учета двухосности напряжений в случае сварочного нагрева и снижение напряжений вследствие упругости металла.