Мгновенный точечный источник. Предположим, чго в очень малый объем массивного тела вблизи точки О (рис. 36) в течение короткого промежутка времени внесено некоторое количе­ство тепла — Q, кал. Для упрощения расчетов будем считать тело
бесконечно большим, а источник тепла — неподвижным, точечным, мгновенным. В качестве граничных условий примем, что 1) тепло­обмена на границах тела нет, так как они удалены в бесконечность;

2)

в начальный момент времени температура постоянна по всему объему и равна нулю (Т0 = 0). Тогда решение уравнения теплопро­водности для данных условий будет таким:

где T — температура исследуемой точки А тела с координатами х, у, 2, °С;

t — время от момента внесения тепла, сек є — основание натуральных логарифмов;

R — расстояние исследуемой точки А тела от точки О внесения тепла, см. Если считать, что начало координат находится в точке внесения тепла, то R — ]/х2 + У2 + г2.

Выражение (IV. 19) является частным решением дифференциаль­ного уравнения теплопроводности (IV. 18). В правильности этого выражения можно убедиться, вычис­лив из него частные производные тем­пературы и подставив их в уравне­ние (IV. 18). Последнее в этом слу­чае обращается в тождество.

Выражение (IV. 19) представляет собой произведение двух множите­лей, из которых первый - —ГГ вы-

г су (4тмО /а

ражает температуру в точке гнесения тепла в разные моменты времени, а вто­рой характеризует изменение темпера­туры для различных точек тела в за­висимости от R и /. В самом деле, для точки внесения тепла R — 0

= 1; Т(0, t) =

С увеличением Rat температура точек тела падает. В связи с тем что тепло равномерно распространяется от точки внесения во все стороны, изотермами для указанного случая будут правильные ша­ровые поверхности с центром в точке приложения тепла и ради­усом R.

Мгновенный линейный источник. Предположим, что некоторое количество тепла Q внесено в неограниченное теплопроводящее тело и распределено по прямой, совпадающей с осью Z (рис. 57). Это означает, что мы принимаем такую расчетную схему: бесконеч­ное тело, мгновенный линейный неподвижный источник. Граничные

условия выберем ге же, что и в предыдущем случае. Интенсив­ность источника, т. е. количество тепла, приходящееся на единицу

длины, примем равной <?,. Тогда Q, = j калієм, где I — длина

прямой, по которой распределено тепло.

В этом случае тепло распространяется равномерно во все стороны от источника тепла. Изотермическими поверхностями будут цилинд­ры с общей осью Z, т. е. температура не зависит от координаты z. Тогда решение дифференциального уравнения теплопроводности

примет вид

(‘V-20»

где R — расстояние от исследуемой точки А до источника теп - ла ;/?=]/у! остальные обозначения — те же, что и в предыдущей формуле. Мгновенный плоский источник. Если в тело неограниченных раз­меров тепло внесено мгновенно и распределено по некоторой плос­кости равномерно, то распростра­нение его будет происходить толь­ко в обе стороны от этой плоскости перпендикулярно к ней ц подчи­няться единому закону.

Для этого случая справедли­во дифференциальное уравнение (IV.186). Учтя граничные условия и приняв интенсивность источ­ника тепла Q2 —f калісма, где Q — общее количество тепла, вве­денного источником, a F — площадь, на которой это тепло распре­делилось, можно решить уравнение (IV. 186), в результате чего полу­чить выражение для Т (х, t):

(IV-2I>

В этом выражении х—расстояние от исследуемой точки до пло­скости источника тепла. Так как температура точек тела не зави­сит от координат у и 2, то для любых точек тела с координатой х в данный момент времени она есть величина постоянная.

Изотермические поверхности будут представлять собой в этом случае плоскости, параллельные плоскости источника тепла.

Принцип наложения. Мы рассмотрели идеализированные мгно­венные источники тепла простейших форм: точечный, линейный

ПО

и плоский. На самом деле нам придется иметь дело с источниками, непрерывно действующими более или менее продолжительное время и распространенными в большем или меньшем объеме.

Для расчета процессов распространения тепла от реальных ис­точников воспользуемся принципом наложения элементарных реше­ний. Сущность его состоит в том, что температура от совместного действия совокупности распределенных в пространстве или времени источников принимается равной сумме температур от дейст­вия каждого отдельного источника. Допустимость принципа нало­жения, или принципа независимости действия источников, проверена опытом. Пользуясь этим принципом, можно представить реаль­ный источник любой формы как со­вокупность сосредоточенных источ­ников (точечных, линейных и плос­ких), а непрерывно действующий источник — как совокупность мгно­венных источников, соответственно распределенных по времени дейст­вия источника. Просуммировав ре­шения для каждого элементарного мгновенного источника, найдем ре­шение для источника любой фор­мы, действующего любое время. При пользовании принципом наложе­ния коэффициенты теплофизических свойств материала Я, су, о. прини мают постоянными, не зависящими от температуры.

Распределенный по объему источник (выравнивание начального распределения температур). Применим принцип наложения для отыскания закона выравнивания начального распределения темпе­ратуры.

Пусть в некоторый момент времени t = 0, который мы примем за начало отсчета, в бесконечном теле распределение тепла описы­вается функцией Тп (лг, у, г). В произвольной точке А этого тела (рис. 58) выделим элементарный объем dx'dy'dz'. Температуру точки А' в начальный момент можно будет найти, если в выраже­ние Т0 (х, У, z) для начальной температуры подставить координаты х', у, г точки.

Поскольку выделенный бесконечно малый объем имеет некото­рое количество тепла dQ, то можно считать его мгновенным точеч­ным источником. Количество тепла, заключенное в таком объеме, определим умножением этого объема на теплоемкость и темпера­туру:

dQ = dx' dy' dz' cjT0 (x’, y', z’). (IV.22)

Эго тепло, независимо от наличия других тепловых источников, будет распространяться как от точечного мгновенного источника

JU

Здесь R' — расстояние от источника тепла (элементарного объема с координатами х', у', г'), выделенного вблизи точки А', до произвольной точки тела Ах с текущими координатами х, у, г. Как видно из рис. 58,

(R'f = (X - хТ + (у - у'? + (2 - z'f.

На точку Ах с координатами х, у, г действует не только выде­ленный элементарный источник, но, в соответствии с принципом наложения, и все другие элементарные объемы тела, рассматри­ваемые как отдельные источники тепла. Поэтому температура в точке Ак будет суммой всех температур, возникающих в ней в результате действия отдельных элементарных объемов:

Т (х, у, 2, I) = [ &Т (х, у, г, /). (IV.22a)

V

Но поскольку

то, учтя выражение (IV.22), получим

l г -151’

Т(х, у, 2, t) = (4—у, j Т0 (/, у', z') dx' dy' dz' е ш, (IV.23)

и

где интегрирование производится по всему объему тела.

Аналогичные рассуждения можно провести и для линейных и плоских мгновенных источников.

Непрерывно действующие сосредоточенные источники. Чтобы вывести зависимости распространения тепла при действии непре­рывных сосредоточенных источников, воспользуемся известными выражениями для мгновенных источников тепла. Используя прин­цип наложения, представим процесс непрерывного введения тепла в нагреваемое тело как сумму мгновенных внесений бесконечно ма­лых порций тепла dQ через очень малые промежутки времени dt.

Пусть в течение времени I непрерывно действует тепловой источ­ник мощностью q (t) кал! сек (рис. 59). Разобьем все время действия источника t на бесконечно малые отрезки времени ctf, через которые в тело вносится мгновенная порция тепла. Тогда в некоторый произ-

вольный момент времени Ґ элементарное количество тепла, введенное через интервал времени dt', dQ — q (О dt'.

Подставив выражения (IV. 19), получим

dT [х, у, z, (t — Ol и dQ в формулу

x*+y*+zs 4аи—ґ)

(IV. 24)

§ 23. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННОМ ТЕЛЕ Условия теплопередачи на поверхности ограниченного тела искажают распределение тепла по сравнению с теми законами, которые выведены для тела неограниченного. Учет граничных усло­вий передачи тепла можно произвести с помощью искусственного приема — введения фиктивных источников. Выведем уравнения для температуры любой точки полубеско - нечного тела, имеющего различные условия теплообмена на гра­нице к начальную температуру, равную нулю.

ИЗ

Адиабатическая граница — такая граница, которая не пропу­скает тепло.

Пусть граничная плоскость XOY (рис. 60) полубесконечного тела непроницаема для тепла. На оси Z в точке Р' (0,0,— г') при­ложен мгновенный точечный источник тепла Q. Если бы вблизи источника не было границы, то тепло от него распространялось бы по уже известному закону (IV. 19), изображенному кривой Т (г).

Мысленно дополним имеющееся полубесконечное тело второй

Рис. СО. Схема распространения тепла в теле при наличии адиабатической границы.

половиной и поместим в нее фиктивный тепловой источник таким образом, чтобы он создал во всех точках поверхности раздела те же температуры, что и основной. Тогда на границе не будет тепло­вого обмена, так как здесь разность температур в любой точке основ­ного и дополнительного тела равна нулю. Этот искусственный прием позволяет перейти от полубесконечного тела к бесконечному и в то же время выдержать заданное граничное условие.

Чтобы тепловые поля в основном и дополнительном теле были одинаковыми, фиктивный источник, очевидно, должен иметь оди­наковую тепловую мощность с основным и находиться на таком же расстоянии от граничной плоскости — зеркачьно по отношению к основному. Тогда решение задачи сводится к определению темпе­ратуры, возникающей в любой точке бесконечного тела в резуль­тате совместного действия двух ИСТОЧНИКОВ равной МОЩНОСТИ,

Ж

расположенных в точках Р' (0,0,—г') и Р" (0,0,г'). По принципу наложения их общее воздействие равно сумме воздействий каждого:

7 (г) = Г (2) + Т" (г).

Расстояние от основного источника тепла Р' до исследуемой точки тела А (х, у, z)

R' = Ух* + У* + (z'-2)2,

а от вспомогательного источника Р" до той же точки R” = V*2+ У2 + (г' + zf.

Температура исследуемой точки А от совместного действия обоих источников

су (4тса/)3/г

о

ст (4r. at У

Физически этот случай можно представить следующим образом: тепловой поток, дойдя до не про­пускающей тепло границы, отра­жается от нее и распространяется в обратном направлении по тому же закону, по которому он распро­странялся* бы дальше в бесконеч­ном теле, если бы не было адиаба­тической границы. Температуры точек тела вблизи адиабатической границы равны сумме температур, возникших в этих точках в резуль­тате действия основного и отра­женного тепловых потоков.

Изотермическая граница — та­кая граница, которая имеет посто­янную температуру независимо от теплового состояния тела.

Нужно исследовать распределение температур в полубесконеч - ном теле, температура поверхности которого постоянна (рис. 61). С помощью рассуждений, аналогичных предыдущему, установим, что после дополнения полубесконечного тела второй половиной мы должны воспользоваться таким фиктивным источником тепла, ко­торый на границе даст температуры, равные по величине и обрат­ные по знаку тем, которые получились бы в бесконечном теле. Такие фиктивные «отрицательные» источники тепла называют стоками тепла. Тогда сумма температур любой точки поверхности основного

и вспомогательного тел будет равна нулю, что и требовалось По условию.

Сток тепла, равный по мощности источнику, следует одновре­менно с источником приложить в точке Р", являющейся зеркальным отображением точки Р' относительно граничной плоскости XOY. Тогда по принципу наложения температура в любой точке тела с текущими координатами х, у, г будет равна разности температур двух процессов — нагрева тела и стока тепла:

Мы познакомились с основными положениями теории тепловых процессов сварки. Покажем, как используются эти положения при решении конкретных вопросов (см. далее). Все примеры взяты для дуговой сварки как наиболее важного и изученного технологиче­ского процесса и относятся к простым типовым случаям. Здесь не приведены расчеты тепловых процессов при газовой сварке, кон­тактной электросварке и пр., так как они содержатся в соответ­ствующих курсах и специальных работах.

Расчеты нагрева метал л а сварочной д у - г о й. Полную тепловую мощность дуги определяют умножением ее электрической мощности на коэффициент перехода от электри­ческих единиц к тепловым, равный 0,239 или — 0,24.

Для постоянного тока тепловая мощность дуги

<7 - 0,24 W = 0,24 1U = 0,24 PR кал',сек,

где W — электрическая мощность дуги, вт;

/ — ток дуги, а;

V — напряжение дуги, в;

R — сопротивление дуги, ом.

Поскольку не все тепло, выделенное в дуге, расходуется на на­грев изделия, а часть его идет на нагревание атмосферы и окру­жающих предметов путем конвекции и радиации, то эффективная тепловая мощность дуги qu всегда меньше полной тепловой мощно­сти q. Отношение их характеризует степень использования терла дуги на нагрев изделия, f

Эффективный коэффициент процесса нагрева изделия дугой

зависит от технологии сварки, длины дуги, степени углубления ее в металл и пр. Опытные значения ria для различных методов сварки приведены в табл. 11.

Эффективный к. п. д. снижается при увеличении длины дуги и растет по мере углубления дуги в металл.

Точность тепловых расчетов в значительной мере зависит от правильности выбора идеализированной расчетной схемы.

Сварочная дуга представляет собой концентрированный в малом объеме источник тепла, поэтому во многих случаях расчета можно считать ее точечным или линей­ным источником.

Нагрев тел дугами поверхност­ного типа (рис. 62, а) ближе к схе­ме «точечный источник на поверх­ности полубесконечного тела». По­груженные дуги (рис. 62, б), при­меняемые при стыковой сварке листов с полным проплавлением за один проход, дают тепловые поля, хорошо совпадающие с теп­ловыми полями, рассчитанными по схеме линейного источника.

При исследовании распростра­нения тепла и определении темпе­ратур в непосредственной близости от дуги последняя не может считаться точечным источником, так как ее размеры одного порядка с расстоянием между исследуемой точкой и источником тепла.

Для расчета температур при наплавке на пластину могут быть использованы такие расчетные комбинации: «точечный источник — плоский слой» либо «линейный источник — пластина». Первая схема дает более точные результаты для областей, в которых температура заметно меняется по толщине, тогда как на значи­тельном расстоянии от валика, где температуру можно принимать

практически постоянной по толшине пластины, применима вторая расчетная комбинация.

Сварочная дуга, вообще говоря,— всегда непрерывно действую­щий источник. Однако если горение ее продолжалось недолго, как это бывает при прихватке или сварке электрозаклепками (а нас интересует температура тела через промежутки времени, во много раз превышающие период горения), то можно считать источник тепла мгновенным. Такое допущение мало отразится на точности расчета.

В зависимости от скорости перемещения сварочная дуга может быть неподвижным, подвижным и быстродвижущимся источником тепла. Схему подвижного источника часто применяют для расчета температур при ручной дуговой сварке, тогда как схема быстродви - жущегося источника больше удовлетворяет условиям автоматиче­ской сварки. При этом чем выше скорость сварки и меньше расстоя­ние от исследуемой точки до шва, тем точнее будет совпадать теоре­тическая схема с практическими результатами.

Вообще при выборе расчетных схем следует учитывать принцип местного влияния, который утверждает, что температурное поле существенно зависит от размеров и характера распределения источ­ника тепла только на расстояниях одного порядка сего размерами, тогда как на больших расстояниях температурное поле практиче­ски не зависит от формы источника и занимаемого им объема.