Корпус сосуда давления (рисунок) представляет собой цилиндр, составленный из слоев с внутренними и наружными радиусами RiB и RiH. Кольцевой шов рассматривается как монолитный цилиндр, состыкованный с многослойной частью. Корпус нагружен внутрен­ним давлением р, плоскость у — 0 является плоскостью симметрии, в сечении у — h задается известное распределение осевых переме­щений.

В работе [1] слои рассматривались как тонкие цилиндрические оболочки, сопряженные с монолитным кольцевым швом. Рассмотре­ние конструкции упрощается, если слои мысленно продолжить в тело шва. При этом внутри шва слои сцеплены, а вне шва нагружены пе­ременным по длине контактным давлением и могут расслаиваться. В настоящей работе для определения полей напряжений и перемеще­ний в слоях используются уравнения теории упругости

{% + jx) grad div и + цДц = 0. (1)

Подобная постановка позволяет более точно, чем в работе [1], описать напряженное состояние вблизи концов межслойных зазоров, что существенно при оценке малоцикловой прочности и многослой­ных корпусов сосудов. Пронумеруем слои последовательно от внут­реннего к наружному и поверхность слоя і обозначим Si. Краевые условия на поверхности Si задаются в виде Ви Si =Фі, где В — опе­ратор, соответствующий заданию на различных частях Si перемещений и, векторов напряжений р или сме­шанных краевых условий. Обозначим внутреннюю и наружную поверх­ности слоя номер і соответственно SiB и Sia. Пусть поверхность Si обо­значает поверхность слоя, располо­женную вне кольцевого шва, a S-г — поверхность слоя внутри кольцево­го шва. Внешнее воздействие на стенку корпуса имеет вид

Рів ^ рі ^ів = 0, Pjvh = 0, (2)

где pi в — контактное давление; би­вектор касательных напряжений на

поверхности Sin. Величины фі заранее неизвестны и определяются из условий сопряжения. При неучете сил трения на Si имеем сле­дующие статические условия сопряжения:

*Ь«0, (3)

а на поверхностях Si (внутри шва)

Рін ^ Рі+Ів* (4)

При наличии трения величина t s' в общем случае отлична от нуля

и определяется выбранным законом трения. Связь соприкасающихся слоев является односторонней, в силу чего граница контакта заранее неизвестна. Условия отставания соприкасающихся поверхностей

описывается соотношением

fi — [(-Кін “Ь uis) (-Ri+Ів “Ь Мі+Ів)] И]В О,

где Щв — вектор внешней нормали к внутренней поверхности. Ус­ловия сопряжения образуют систему равенств и неравенств

рін = рі+ 1в>0 при /{ = 0 (5)

Piн = Pi+ 1в = о при fi > 0. (б')

Кинематические условия сопряжения слоев внутри шва определя­ются равенствами

ItjH = U i-flBi І — і, N 1. (6)

На поверхностях Si контактные сближения слоев существенно зави­сят от свойств поверхностных микронеровностей. Учет этого явления

выполнен, например, в [2, 3]. При этом в случае контакта условия сопряжения имеют вид

Мін = ^1+ 1в + Дії Рін = Pi —f— 113 ^ 0, (7)

где — величина радиального контактного сближения

bi^Aptn, i-l, tf—l; (8)

здесь А, а — экспериментально определяемые константы. В форму­

лах (7) и (8) использованы обозначения: рі„ =* р | 3; , ...; ц|8' —

радиальные перемещения точек поверхности Si, Af — величины за­данного радиального натяга, возникающего при напряженной по­садке слоев. При отрыве слоев условия (7) и (8) не выполняются, вместо них используется второе равенство (5). Краевые условия на плоскостях у = 0 и у = lh имеют вид

11y=ih =1 |у=о = v |y„o =» 0, (9)

(1 —2ц)рД? в

V }v=ih = vi= ~—2------------------ , (10)

~ ІВ' *

где v - осевые перемещения. В (10) принято, что вдали от шва осе­вые деформации многослойного сосуда совпадают с соответствующи­ми деформациями однослойного сосуда [3].

Полученная система (1) — (10) в силу нелинейности соотноше­ний (5) и (8) является нелинейной и требует построения итерационно­го процесса. Сказанную задачу будем решать методом поочередных сопряжений, изложенным в работе [4]. При этом решение сводится к последовательности расчетов отдельных слоев и не требует предва­рительного построения функций влияния подобластей. Решение краевых задач для отдельных слоев при произвольных краевых усло­виях осуществляется с помощью универсальной программы для ЭВМ, реализующей метод конечного элемента для слоя. Он позволяет не только учитывать нелинейность уравнений (5) и (8), но и нелиней­ность, возникающую при учете пластических свойств материала слоев.

Изложим простейшую схему решения, сводящую расчет цилинд­ра из N слоев к последовательности расчетов двухслойных цилинд­ров [4], имеющую гарантированную сходимость [5]. Опишем сна­чала решение задачи при сопряжении двух слоев с номерами і и і + 1. Зададим на поверхностях SiH, SiB в качестве нулевого при­ближения некоторые вектора р? в, р? н, удовлетворяющие условиям

(3) , а при і = 1, N и условиям (2). Рассмотрим задачу об отыскании напряженно-деформированного состояния, удовлетворяющего ус­ловиям сопряжения (3) — (8), при краевых условиях (9) — (10). При заданном нулевом приближении р®н, р? в каждый из слоев і и і + 1 находится при заданных внешних воздействиях. Определим состояние в каждом из слоев с помощью имеющейся программы решения уравнений (1). При этом на SiH, SiB возникнут перемеще­ния и? н, и.|_1в, не всегда удовлетворяющие условиям (6) — (8). Для построения следующего приближения будем использовать величину невязок:

= uf+iB — Мія при y£S‘i (11)

6ulk = wf+ів — ufu при у £ Su к = 0, 1, ...

Приближения йІн+1) іїі+Їв строятся так, что на поверхностях раздела Si„, Si_|_iB удовлетворяются условия сопряжения (6) — (8). Для этого внутри шва используются соотношения

“"2fe+l і <5 2h ia ov

Мін — — Uih OCOlii. (1^)

Вне шва условия сопряжения принимаются различными для случая расхождения поверхностей SiH и iSi+ib, а также для случая их взаимопроникновения. Условием расхождения этих поверхностей является неравенство

fi =- бщщв> 0.

Проверяя выполнение этого условия по всей длине контакта, усло­вия на Si в приближении 2к + 1 запишем в виде

*4н+1 = К1+ІВ1 = Ща + а&иТ при fjh ^ 0, (18)

Отношения (12), (13) позволяют полностью задать краевые условия на Siн и Si+iD • Решая уравнения (1) для слоев г и і + 1, построим для этих слоев приближение, удовлетворяющее условиям сопряже­ния (6) — (8). При этом на SiH и <5>і+ів может возникнуть невязка сопряжения контактных усилий

6pf+1 = Рш+1 = pf+t, fc = 0,1,2,.... (14)

Эти невязки подавляются внутри шва с помощью равенств

—2А -2А "Г2А—[25] і ІЛ 1

Piн — Pi-fїв ^ Рін “Ь (1 о Pi • (1^)

На поверхностях соприкасания слоев при сопряжении контактных

" 2k—1 і /л л 2А—1

давлении анализируется знак величины т = pin + (1 — а) орь Невязки усилий подавляются при этом по формулам Рін = Рі+ів = о при Яі < 0,

Рін = Рі+ів = Рін^1 + (1 — а) ЬрТ~1 при Яі > 0. (16)

Процедура (12) — (16) может повторяться до тех пор, пока невязки сопряжения не станут достаточно малыми и процесс поочередных со­пряжений для слоев номер г и і + 1 не сойдется. При сопряжении нескольких слоев процедура сопряжения ре­шений может быть построена методом релаксации Саусвелла [4].