При определении частот и форм собственных колебаний элемен­тов трубопроводных систем в практике проектирования обычно применяют результаты линейной теории колебаний стержней постоян­ного сечения [1]. Более полные данные могут быть получены с исноль - еованием теории оболочек. Исследование [2], выполненное с примене­нием полубезмоментной теории оболочек, нокавало, что при некото­ром «предельном» значении относительной длины Иг (I — длина пролета, г — радиус поперечного сечения трубы) частота колебаний трубы по «балочной» форме (с числом окружных волн п «= 1) совпа­дает с частотой колебаний, при которой п — 2 («овализация»). При большей длине низшей частоте колебаний соответствует балочная форма, при меньшей — колебания по форме с п = 2. Эксперименты, выполненные на однопролетном многослойном трубопроводе, показа­ли, что фактически колебания трубы как балки сопровождаются ова - лизацией, т. е. имеют место связанные колебания. Решение задачи о связанных колебаниях можно получить лишь с использованием не­линейной теории оболочек. Ниже рассматриваются поперечные коле­бания.

В качестве модели многослойной трубы с отстоящими на некоторых расстояниях друг от друга кольцевыми швами рассматривается орто - тропная оболочка кругового сечения с осевой линией в виде дуги ок­ружности радиуса R. Координата х отсчитывается вдоль образующей; у — по окружности, образованной поперечным сечением срединной поверхности оболочки; z — по нормали к срединной поверхности в наружном направлении. Безразмерные координаты обозначаются через а = xjr и Р *= у! г. Под и, v и w понимаются перемещения соот­ветственно вдоль координатных линий х, у, z (рис. 1).

Используются следующие основные допущения полубезмоментной теории оболочек [3].

1. Деформации удлинения в окружном направлении еу и сдвига в срединной поверхности еху малы по сравнению с производными пе­ремещений, т. е.

Ур + w *= 0, up - f va =*= 0. (1)

Здесь и ниже запятая обозначает дифференцирование по координате^ следующей за запятой в индексе.

2. В соотношениях упругости можно не учитывать долю окруж­ного усилия в срединной поверхности Ту, связанную с продольной де* формацией гХ1 и ту часть моментов Мх и Му, которая обусловлена кри-

визной хх. Это означает, что соотношения упругости можно принять в упрощенном виде

Мх == [ і Т)уУ. у. Т х == Eh&x,

Му = DyKy, Zy =

где Е — модуль упругости; |j, — коэффициент Пуассона; h — полная толщина оболочки (в рассматриваемом случае равная сумме толщин однородных слоев); Dy — цилиндрическая жесткость оболочки при изгибе в плоскости yz.

3. Во всех уравнениях движения, кроме уравнения моментов от­носительно касательной к координатной линии у, можно пренебречь поперечным усилием Qx и моментами Мх и Му.

Согласно допущениям полубезмоментной теории выражения для компоненты деформации є*, гу, гху и кривизны и*, ку, имеют вид

Вх = и. о. + ч]Е, Г| = r/R, /’= w cos Р — v sin (J,

= H-Wr, Яу = — (3)

— v.

Уравнения движения оболочки с учетом принятых допущений могут быть представлены [4] в виде

тХ, а + Т ху^ “Ь rQyv-xy ~ь Рhrutt — О,

+ Тху'О, - j - цТх sin Р -|—Qy + phrvtt = О,

(4)

У

Тх + -^г - Ту — Qyfi + гТх%л — рг + р hrwu = о,

MXt0i - f - МХу£ — rQx = 0, Му$ — rQy = 0,

где р — плотность материала оболочки; р — распределенная попереч ная нагрузка

1 cos р иаа 1 1-%

= Г~' • { )

После очевидных преобразований с учетом (1) — (3) система (4) при­водится к одному нелинейному уравнению движения оболочки кру­гового сечения с осевой линией, изогнутой по дуге окружности

Тж. аа + {TxRylRxhv + (TxRyXx)ffl — (М Xt^Ry/r2) рр

"Ь (^у3^ху)а (^г/.р/^у)р “

«= — рhruatt + рhrv&tt + [(рг + рhrwtt) Д^/Нрр. (в)

Учитывая зависимости (2), (5) и соотношения для деформаций и кривизны (3), уравнение (6) в перемещениях можно переписать!

(иа + rF)aa + ТІ [{Ua + ЛЛ cos РІРР ~ Л [(«а + ЛЛ 8ІП РІР +

+ г^аа^арр + Л^аа^ВР + С20рррвр + (С2 — /5а) Оррр =

= kj_ (WfiР — w — иа)и. (7)

Здесь кг = , к2 = , с2 «= .

Если в уравнении (7) отбросить нелинейные члены и полагать, что цилиндрическая жесткость Dy связана с механическими характе­ристиками оболочки соотношением Dy = Eh3/[ 12 (1 — р,2)], то можно прийти к уравнению, описывающему движение трубы с изотропными стенками при малых перемещениях [2]. В случае составной много­слойной трубы, однородной в продольном и окружном направлениях, цилиндрическую жесткость Dv можно найти с помощью соотношений, приведенных в работе [5].

При рассмотрении свободных связанных колебаний ортотропной оболочки длиной I граничные условия на краях принимаются в виде

v = w = Тх = Мх = 0, (8)

что соответствует шарнирному опиранню концов однопролетного трубопровода.

Форма поперечного перемещения аппроксимируется выражением w = Д (t) sin Ха cos Р + /2 (t) sin Ха cos 2|3, (9)

где X = л г/1.

Первый член выражения соответствует прогибу трубы как стержня (п ~ 1), а второй описывает овализацию поперечного сечения (п = 2).

Выражения для и, v, О из (1), (3) с учетом (8) примут вид

v = — Д (t) sin Ха sin Р j-/2 (t) sin Xa sin 2p,

и = — Xfx (t) cos Xa cos P j - Х]г (2) cos Xa cos 2(3, (10)

■& =----- /2 (t) sin Xa sin 20.

После подстановки выражений (9), (10) в уравнение движения (7) выполняется интегрирование методом Бубнова — Галеркина по срединной поверхности с учетом граничных условий (8) и условия замкнутости для некоторого фиксированного момента времени. В результате находятся следующие обыкновенные дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций времени и /2

/і + aJi + fla/a + a3fl + o-Jifi = 0,

, (il)

/2 + ^if 2 + ^ifi + 63/1 + b4/i/2 = 0.

где

_ 5ri2 + 4^ 3r)Xa

1 4kt (2 - f А,2) ’ аг ~ 8Ai (2 + Ї?) '

5г|Х2 8Х4

°8 ~ ktn (2 + А,2) ’ а4 = 3ktn (2 + X2) ’

. Xі + Юг)» + 144с2 + 48 /с2 , 12т)Я,2

1 ^ fej (20 + Хг) а fej (20 + X,2) ’

, 64Х4 , 1бг)Х,2

3 ~ З^я: (20 + Xі) ' (20 + X2) ‘

Как показали наблюдения за свободными колебаниями трубы, зависимостям /j и /а от времени можно придать вид

/j = A cos cot, /2 = — 2В cos2 at. (13)

Подстановка (13) в уравнения (11) и последующее интегрирование их по полному периоду колебаний приводят к нелинейным алгебра­ическим уравнениям относительно амплитуд А и В

(со2 — ах + 1,73а4Я) А + 1,83а2В — 3,2а3В2 = 0,

((о4 - 0,75^ - 0,58Ь4А) В + 0$ЗЬ2А + 0,75М2 = 0. (14)

Второе из этих уравнений используется для того, чтобы выразить связь между амплитудой А прогиба трубы как стержня и амплитудой В овализации

ОЗЗ&И + 0.75М2 ^

“ 0,5864Л + 0,756! - со2 ‘ { >

Подстановка выражения (15) в первое уравнение (14) приводит к сле­дующей амплитудно-частотной зависимости:

юв — + £2cd2 — Із = 0, (16)

где

gj = аг + 1,226х + 1,16Ь4і4, |а = 0,6а2Ь2 — 1,22«j6j - f- 0,37Ьі + (0,57а4Ь2 - f 0,5763 — — 1,66ахЬ4 + 0,716^) А + (0,34bf + 0,54а463) А2,

£3 = 0,37^ (а А — афъ) + 0,35 [Ьг (2a1bi — агЬг) - а2 (Ь2Ь4 + ЬХЬ3) +

-f aab] А + 0,33 (афі — а4Ь2Ь4 — а4&12)3 — aib3bi -j - 2а3ЬгЬ3) А2 +

+ 0,31Ь3(а36з-а464)Л3. (17)

Наименьший корень уравнения (16) можно определить приближенно по формуле

“2 = - г + Щг - (18)

е» ,'2

Вычисления были проведены для стальной многослойной трубы с кольцевыми сварными швами, расположенными на расстояниях
s друг от друга (рис. 1). Приведенную цилиндрическую жесткость такой тру­бы находим из соотношения

Рис. 2. Зависимость низшей частоты колебаний от относи­тельной длины пролета: 1 — 0; 2 — 0,1; 3 — 0,2.

р П п а + 26 .

иар — иу — Ui_ f-

a+ 2b

(19)

где Dx — цилиндрическая жесткость сплошной оболочки толщиной, равной сумме толщин слоев; D0 — цилиндриче­ская жесткость многослойной оболочки, лишенной связей сдвига; а — ширина кольцевого сварного шва; b — ширина «присоединенного» к сварному шву поя­са повышенной жесткости. Величина b определяется выражением для ширины зоны краевого эффекта [6].

При вычислении величин Dt и Dg по зависимостям, приведенным в [5], было принято, что оболочка (труба) состоит из четырех слоев толщиной по 4,1 мм. Диаметр трубы принимался равным 1420 мм, расстояния между кольцевыми швами определялись значениями па­раметра sir = 2,3, ширина сварного шва а = 30 мм Отношение /'лины к радиусу поперечного сечения Иг варьировалось от 10 до 100.

Рис. 3. Амплитудно-частот­ные зависимости для нели­нейных связанных колеба­ний трубы: 1 _ 25; 2 — 50; 3 — 100.

На рис 2 представлены зависимости низшей частоты колебаний трубы от относительной длины пролета. Результаты, найденные по линейной теории и обозначенные на графике условно А = 0, представлены двумя пересекающимися кривыми. Точка пересечения соответствует значению Иг = 24. Низшая частота коле­баний трубы при меньшей длине пролета соответствует форме с п = 2, при большей— форме си = 1. Две другие кривые, при­веденные на графике, характеризуют час­тотные зависимости для связанных не­линейных колебаний при амплитудах про­гиба А, составляющих соответственно 0,1 и 0,2 от радиуса трубы. Очевидно, чем больше амплитуда, тем ниже частота свя­занных колебаний. Наиболее существен­ное снижение частоты колебаний наблю­дается в окрестности значения Иг = 24, достигая 18 % при А = 0,2.

Амплитудно-частотные зависимости для нелинейных связанных колебаний рас­сматриваемой трубы при значениях па­раметра длины Иг, равных 25, 50 и 100, по­

казаны на рис. 3. По оси абсцисс отложено

отношение низшей частоты колебаний трубопровода, найденной по нелинейной теории, к частоте «балочных» колебаний, вычисленной на основе линейного приближения. По оси ординат отложены зна­чения амплитудного параметра Аг21Р, введенного таким образом, что, определяя максимальные нормальные напряжения в среднем се­чении трубы при ее изгибе как балки, достаточно умножить значе­ние этого параметра на некоторый размерный коэффициент. Из рас­смотрения графиков (рис. 3) следует, что нелинейность в данном случае носит мягкий характер. Это легко объяснить снижением изгибной жесткости трубопровода при его овализации. Наиболее су­щественная нелинейность наблюдается при значении Иг, близком к «предельной» длине, величина которой в данном случае составляет 24.