В работах [1, 5] предложена схема рулонированной стенки сосу­да, основанная на усреднении свойств навивки, показан путь идеали­зации, приводящий к схематизации стенки трехслойным цилиндром,, а также исходные уравнения и полученная с их помощью разрешаю­щая система дифференциальных уравнений, записанная в нормальной форме. При этом жесткостные характеристики слоя, схематизирующе­го навивку, представлены в общем виде, чем предусмотрена возмож­ность различных вариантов усреднения. В настоящей статье конкре­тизируется усреднение зависящей от микронеровностей контактной податливости между витками навивки и исследуется работа схемати-

Рис. 2. Усреднение свойств навивки проскальзывания (а) и контактной по­датливости (б).

Рис. 1. Схема идеализированной конструкции.

вирующего ее слоя. Цель данного исследования — углубление пони­мания некоторых аспектов работы рулонированной стенки.

Путем, описанным в [1], приходим к идеализированной кон­струкции (рис. 1). Как видно, навивка представляет собой спираль Архимеда из пакета тонких листов (штриховые линии на рис. 1), тол­щина которого равна толщине h навиваемой полосы в реальной кон­струкции. Устремляя к нулю толщину тонких листов при сохране­нии общей толщины пакета h, заменяем всю навивку сплошным слоем с анизотропными свойствами. Таким образом, расчетная схема всей стенки представляется трехслойным цилиндром. Внутренний и наружный слои, соответствующие центральной трубе и кожуху, изотропны.

Возможность проскальзывания в навивке усложняет задачу о напряженно-деформированном состоянии описанного трехслойного цилиндра при изменении напряжений вдоль его длины, что имеет место в реальной конструкции из-за наличия в стенке кольцевых швов, связывающих отдельные обечайки между собой и с днищами сосуда. Поэтому на данном этапе исследования ограничиваемся более простой задачей — рассмотрением бесконечного цилиндра, нагруженного внутренним давлением р и осевой силой Z. Напряже­ния и деформации в нем не зависят от осевой координаты г.

При определении свойств слоя, схематизирующего навивку, усредняются проскальзывание между витками и жестностные харак­теристики.

Для усреднения проскальзывания рассмотрим элемент навивки, представляющий собой короткий отрезок, состоящий из двух полови­нок (по толщине) ее смежных витков. На рис. 2 показано их взаимное смещение в результате проскальзывания. При расслоении навивки в процессе схематизации на более тонкие листы это смещение распре­деляется ступенчато и в пределе переходит в непрерывную деформа­цию сдвига Yp,.

Усредненные жесткостные характеристики навивки зависят от микро - и макронеровностей контактирующих поверхностей. Макро­неровности вызываются разнотолщинностью полосы и ее погну­тостью. Различные виды этих дефектов не одинаково влияют на жест­костные характеристики многослоя в целом.

Исследования контактной жесткости, зависящей от микронеров­ностей (шероховатости), описаны в работе [2]. Применительно к мно­гослойным сосудам исследования контактной податливости от сжи­мающих напряжений проводились в Иркутском НИИхиммаше [3, 4].

Усреднение жесткости выполняется следующим образом.

Рассмотрим элемент навивки, состоящий из двух половинок смежных витков и нагруженный нормальными сжимающими напря­жениями q (рис. 2, б). Вследствие микронеровностей (шероховатости) контактирующих поверхностей в какой-то узкой зоне контакта де­формируемость будет большей, чем в остальной части элемента. Для дополнительного по сравнению со сплошным материалом сближения б нагруженных граней показанного элемента в работах [3, 4] предлага­ется следующая эмпирическая зависимость от давления q

8 = Aqa, (1)

где А, а — постоянные величины, определяемые экспериментально на образцах из пакетов листов. Полная усредненная по толщине элемента деформация сжатия gp определяется формулой

ер = 1 + 4- <2>

Ей соответствует усредненный модуль упругости

Яр “V - <3>

Здесь Е — модуль упругости материала навивки, поперечная дефор­мация и модули упругости в направлении навивки Es и вдоль оси цилиндра Ег остаются такими же как и для сплошного материала, т. е. Es = Ez = Е. Аналогичным образом можно получить и усред­ненную жесткость на сдвиг, характеризующуюся модулем сдвига Gps. Однако экспериментальными данными о контактной податли­вости сдвигу мы не располагаем.

Для описания напряженно-деформированного состояния в точке слоя, схематизирующего навивку, выделим из него в полярной систе­ме координат г, 0 бесконечно малый элемент (рис. 3). Здесь же пока­заны координаты р, s, направленные по нормали и касательной к на­вивке. Угол а между осями этих систем определяется из уравнения

спирали Архимеда г = 0 соотношением

sin а — -=s. (4)

Y 4яага-)-Аа

На рис. 3 показаны также действующие по граням элемента ра­диальные ог и окружные ае напряжения. По площадкам, перпен­дикулярным осям р и s, кроме нормальных напряжений стр и aSf действуют и касательные напряжения tps, а в поперечном сечении слоя — только осевые напряжения ст2.

Выпишем все соотношения, характери­зующие напряженно-деформированное состо­яние выделенного элемента. Ограничения, налагаемые на напряжения условиями кон­такта витков навивки,

Рис. 3. Элемент слоя, схе­матизирующего навивку.

(5)

Ор <0,

</,

где / — коэффициент трения. При отсутствии проскальзывания удов­летворяется неравенство, при его наличии — равенство, которое записывается в виде уравнения тр5=±/аР, (6)

где знак зависит от направления гР8. Дифференциальное уравнение равновесия

<Эсг,

<7- — Of.

(7)

= 0.

+

дг ‘ г Соотношения между напряжениями в системах координат г, 9 и Pi 5 ог = ар cos2 а + os sin2 а + 2rps sin a cos а, otq = Op sin2 а + as cos2 a — 2xps sin a cos a, (8) Tr0 = (crs — Стр) sin a cos a + Tps (cos2 a — sin2 a) = 0.

Соотношения между напряжениями и деформациями ер = - g д— (cts + tf*), д (Op + а2),

(9)

(ар + аа) = const, урз =

+ ?ps-

Е

Е

ps

Здесь v — коэффициент Пуассона для материала навивки. Соотно­шения между деформациями в системах координат г, 0 и р, s

ег = ер cos2 a - f es sin2 a + yps sin a cos a,

e0 = єр sin'2 a - j - e„ cos'2 a — Yps sin a cos a, (10)

<y>r0 = 2 (es — 8P) sin a cos a + yps (cos2 a — sin2 a).

Уравнение совместности деформаций

а80 dr

(11)

= 0.

+

во — є,

Выражения деформаций ег, ее и Yre через радиальное и и окру­жное v перемещения

dv Y г0 — дт

да дг

Уравнения (6) — (12) дополняются интегральным условием рав­новесия по поперечному сечению всего трехслойного цилиндра

(13)

2л Г azrdr = Z,

где г0, г3 — соответственно внутренний и наружный радиусы ци­линдра.

С помощью соотношений (5) — (13) проведем анализ работы слоя, схематизирующего навивку. Рассмотрим этот слой при дейст­вии на него нагрузок в виде радиальных напряжений — стгі на внут­ренней и — аГ2 на наружной поверхностях. Знак минус указывает на то, что эти напряжения сжимающие.

Уравнения статики (6) — (8) позволяют определить все напряже­ния в слое, кроме о2, с точностью до одной постоянной интегрирова­ния независимо от деформаций слоя, т. е. при наличии проскальзыва­ния по всей его толщине слой является статически определимым. Для этого достаточно знать нагрузки на его поверхностях. Поскольку решения для напряжений содержат лишь одну постоянную интегри­рования, то эти нагрузки не могут задаваться произвольно, между ними должно существовать определенное соотношение.

h

±2я 1~ CTp cjf> -' С | є Т ±2 Я/-Ї-

Если пренебречь величинами порядка — по сравнению с единицей то можно получить простое решение указанных уравнений и представить выражения для напряжений в следующем виде:

(14)

t, jS = ± /ар » ± /Схе Здесь Сх — постоянная интегрирования.

Таким образом, отношение напряжений на границах слоя ~— должно находиться в пределах

Предельные случаи (равенства) соответствуют проскальзыванию по всей толщине слоя. Если выполняются неравенства, то проскальзы­вания может не быть или проскальзывает только часть слоя по тол-

о

щине. ото зависит от величины —- и упругих характеристик слоя.

rt

В этом случае слой в целом не будет статически определимым. Для той его части, в которой нет проскальзывания, уравнение (6) непри­менимо. Ее напряженно-деформированное состояние описывается

системой уравнений (7) — (13) при Yps = 0. В случае проскальзы­вания по всей толщине слоя по найденным напряжениям (причем напряжение ст2 остается неизвестным) с помощью формул (9) и (10) можно найти выражения для деформаций ер, es, Yps и єг, ее, уиэ. В них будет входить неизвестная деформация проскальзывания Yps и не­известная осевая деформация е2, являющаяся постоянной величиной.

Подставляя єг и еэ в уравнение совместности деформаций (И), получаем дифференциальное уравнение первого порядка относитель­но Yps. Его общее решение можно представить в виде суммы двух частных решений

Yps = Yps(1) (Or, <Т0, e2) + Yps2). (16)

Первое слагаемое — частное решение неоднородного уравнения, за­висящее от напряжений и осевой деформации. Получить его аналити­ческим путем затруднительно, так как напряжения входят не только в правую часть, но и в коэффициенты уравнения. Выражаемая этим частным решением деформация проскальзывания дополняет упругую деформацию так, что в сумме они удовлетворяют условие совместности деформаций.

Второе слагаемое — частное решение уравнения при отсутствии напряжений, т. е. выражаемая им деформация проскальзывания мо­жет иметь место без нагружения слоя. Таким образом, при проскаль­зывании по всей толщине слой не только статически определим, но и геометрически изменяем.

В аналогичной выражению (16) форме можно представить ре­шение для радиального перемещения и, т. е.

u = u(ii(ar, ае, е2) + и(2 (17)

а в общем решении для окружного перемещения и, получаемого ин­тегрированием третьего из уравнений (12), появляется еще одно част­ное решение, т. е.

V — У(1> (стг, Сте, е2) + 1>(2) + v(3 (18)

Если пренебречь величинами порядка - у- по сравнению с еди­ницей, то для Yps(2) можно получить простое приближенное выраже­

ние, а именно:

, (19)

где С2 — постоянная интегрирования. Через него также просто выражаются решения и(2) и z/2). Эти выражения имеют вид

vW~-C2. (20)

Частное решение у(3) — это решение однородного уравнения, соответствующего (12). Оно выражает жесткий поворот слоя в целом и имеет вид

= С3Г, (21)

где Са — постоянная интегрирования.

Геометрической изменяемостью объясняется то обстоятельство, что слой не может воспринимать нагрузок, выходящих за пределы интервала, определяемого выражением (15). Если будет тенденция

уменьшить отношение ниже левого предела, то «сработает»

проскальзывание (19) и слой за счет него будет расширяться без уменьшения этого отношения. При тенденции к увеличению отноше - аг

ния —- выше правого предела проскальзывание будет происходить

°г,

в обратном направлении.

Таким образом, если в процессе нагружения проскальзывание

аг

происходит по всему слою навивки, то отношение -^-2- остается неиз­менным, т. е. имеет место простое нагружение слоя. В этом случае напряжения в нем пропорциональны нагрузке. Сложное нагружение

°г,

слоя, характеризующееся изменением отношения ——, может осу-

гі

ществляться в рамках соотношения (15). При этом слой разделяется на зоны с проскальзыванием и без проскальзывания. Граница между зонами смещается в процессе нагружения, проскальзывание может прекратиться совсем. Аналогичное явление имеет место и при прос­том нагружении, вызывающем проскальзывание не по всему слою. Это происходит вследствие нелинейной контактной податливости зоны, в которой отсутствует проскальзывание. При идеальном контак­те [Ер = Е и Gps = 2(Е--) ) гРаниЧа межДУ зонами с проскальзыва­нием и без проскальзывания фиксирована, а напряжения и деформа­ции пропорциональны нагрузке. В процессе разгрузки зона с про­скальзыванием изменяется как при нелинейной контактной податли­вости, так и при идеальном контакте.

Следовательно, при сложном нагружении слоя, схематизирую­щего навивку, его напряженно-деформированное состояние зависит не только от величины нагрузки, но и от истории нагружения.

Нагрузки стГі и аг, — это напряжения взаимодействия среднего слоя трехслойного цилиндра с его внутренним и наружным слоями. Нелинейная жесткость среднего слоя приводит к тому, что даже при

Ягг

простом нагружении цилиндра в целом отношение —— изменяется

® г

в процессе нагружения и, таким образом, для среднего слоя нагруже­ние является сложным. При расчете цилиндра на внутреннее давле­ние приходится прослеживать весь процесс нагружения, пошагово увеличивая нагрузку. В случае идеального контакта задача упроща­ется, так как напряжения и деформации пропорциональны нагрузке, если, конечно, в процессе нагружения не допускается частичная разгрузка и в ненагруженном состоянии цилиндр не обладает предва­рительной напряженностью. При полной разгрузке цилиндр без предварительной напряженности возвращается в исходное не­напряженное состояние как при идеальном контакте, так и при нели­
нейной контактной податливости в навивке, но напряженно-деформиро­ванное состояние не повторяет при этом пути, который оно проходит при нагружении, так как часть энергии расходуется на преодоление трения при проскальзывании. Предваритель­ная напряженность может умень­шить или даже вовсе предотвратить проскальзывание.

Рис. 4. Распределение окружных напряжений по толщине стенки трехслойного цилиндра (п — чис­ло витков):

1 — с учетом проскальзывания, кон­тактной податливости и истории на­гружения; 2 — с учетом проскальзыва­ния; 3 — с учетом только контактной податливости; 4—решение задачи Ляме.

При учете контактной податли­вости и истории нагружения расчеты трехслойного цилиндра, схематизи­рующего рулонированную стенку, весьма усложняются. Для их выпол­нения составлена программа на язы­ке АЛГОЛ-бО, которая предусматри­вает численное интегрирование диф­ференциальных уравнений по мето­ду Рунге — Кутта без внесения в них упрощений, использованных для по­лучения приведенных выше приближенных решений. В процессе инте­грирования удовлетворяются условия сопряжения слоев и отыски­вается граница между зонами с проскальзыванием и без проскальзы­вания. Условия сопряжения слоев выражаются равенством их

радиальных напряжений стг, а также радиальных и и окружных v

перемещений, которое удовлетворяется также на границе зоны про­скальзывания. Для ее отыскания используется то обстоятельство, что для обеих зон на их границе справедливы уравнения для обоих случаев — при наличии и отсутствии проскальзывания.

Проведенные расчеты показали, что проскальзывание при внут­реннем давлении существенно зависит от коэффициента трения и жест­кости наружного слоя, т. е. толщины кожуха. Причем его толщины, равной толщине навиваемой полосы, достаточно, чтобы проскальзы­вание заметно сказывалось на напряженно-деформированном состоя­нии цилиндра лишь при весьма малых значениях коэффициента тре­ния — порядка 0,06 и менее. Если довести толщину кожуха до трех толщин навиваемой полосы, то при коэффициенте трения / ^ 0,05 проскальзывание практически не влияет на напряжения и деформа­ции. Значительно большее влияние на них при таких значениях ко­эффициента трения оказывает контактная податливость, вычисленная по данным работ [3, 4]. При этом оказывается, что с ростом контакт­ной податливости увеличивается и проскальзывание.

Результаты расчета трехслойного цилиндра, схематизирующего рулонированную стенку, изготовленную из стального прокатного листа, показаны на рис. 4. Размеры цилиндра следующие: г0= 400 мм; rt = 410; г2 = 470; г3 = 480 мм; средний слой его соответствует десяти виткам навивки толщиной h = 6 мм. Параметры, характери­зующие жесткость такие: Е = 2,1 ■ 106 МПа; v = 0^; А = 0,0505;

d = 0,222 [3]. Модуль сдвига, Сра ввиду отсутствия соответствующих экспериментальных данных по контактной податливости сдвигу опре-

Е

делялся по формуле Gps = 0уг~г~ • Заметим, что величина Gps мало

Z (1 - J - V)

влияет на напряженно-деформированное состояние рассматриваемого

Е

цилиндра (результаты расчетов при принятом Gps и при Срз = 2 ц_ vy

°0 гт

практически совпадают). Результаты — приведены для р = 39 МПа

и / = 0,06. Спады кривых в районе восьми—десяти витков указывают на зоны проскальзывания. Как видно (рис. 4), учет контактной по­датливости и проскальзывания почти вдвое повышает напряжения

<Jq

в центральной трубе — = 10,5, по сравнению с решением задачи Ля-

°0 р г

ме — = 5,5, при атом основную роль играет контактная податливость.