Общее реологическое уравнение несжимаемых ньютоновских жидкостей можно записать как

т = рЛ, (1.28)

где Д — тензор скорости деформации — имеет компоненты, опре­деляемые уравнением

э V,. OVj

«=э^+эу О-29)

которое выводится из (1.12) с учетом условия несжимаемости

(Vv)=0.

Коэффициент д в уравнении (1.28) не зависит от состояния сдвига.

Аналогичное уравнение

т=г|Д (1.30)

было постулировано для несжимаемых неньютоновских жидко­стей. В (1.30) предполагается, что вязкость ц является функцией состояния сдвига как величина, характеризуемая или напряжени­ем сдвига, или скоростью сдвига.

Вследствие того что г) является скаляром, она может быть фун­кцией только скалярных инвариантов А (скалярных величин, со­ставленных из компонент А, которые остаются неизменными при вращении координатных осей). Три скалярных инварианта тензо­ра скорости деформации Л определяются уравнениями:

Л =ZA, y =2(v V);

(1.31) (1.32) (1.33)

/2=ЕХ(А|У)2=(Д:Д);

/j = Х1Хе1>*д1/д2>дза =dctA. i J к

Для несжимаемых жидкостей первый инвариант исчезает. Сле­довательно, вязкость несжимаемых неныотоновских жидкостей «шисит только от второго и третьего инвариантов. И прямолиней­ном одномерном и двумерном течениях третий инвариант равен нулю; полагают, что он не очень важен и для других типов тече­ний. Следовательно, вязкость ц является функцией только второго инварианта Л.

11ри разложении т в степенной ряд по Д Рейнер [21 показал, что наиболее общее реологическое уравнение для несжимаемых не - пьютоновских жидкостей имеет вид:

т = г|д +2*1с (Д: д)>

l ie По - ко^ффмииснг поперечной вязкости, являющийся скалярной функцией инвариантов /| и Л.

Степенной закон в общем виде можно записать так:

SHAPE * MERGEFORMAT

(1.34)

П = По

(д:д)

1ЛС По - вязкость при у = 1 с"

Скалярная величина (Д:Д) представлена ниже в прямоуголь­ных, цилиндрических и сферических системах координат. Прямоугольные координаты (х, у, z)'

ГЭу Эх

у Эу

Эу

2

,fef+
	dz dx ./

Цилиндрические координаты (г, 0, z) 2 d Г -1 - К I^v [1 * I"30 ", T dr г) г Э0

Гд_у,+^ dz dr

Эу,

+l^+3vj, г ЭО Эz

Сферические координаты (г, 0, <р):

fd_vv Эг

1^1 + ^. г ЭО г

^(Л:Д)=2

_J_dv^+vv + v^O rsinO Э(р г г

' rB(v0)	1 >*• ГО -	2 4_	sinO Э	f1+ 1 нТ
дг{ Г ;	г ЭО	Т	г ЭО	sinO 1 rsinO Эф]

dvr д ■ + Гг

rsinO Эф Эг г

Для простого сдвига используют прямоугольные координаты, где единственной ненулевой компонентой скорости является у,, а единственной ненулевой производной от vx является Эух./Эу, так что выражение для (Д:Д) примет вид:

Эух

(Д:Д)=2

ду

и уравнение (1.34) запишется в виде:

я-1

( dvx

Л = По

= ЛоУ

Пример 1.2 (1).

Рассматриваемая здесь задача является такой же, как и в при­мере 1.1, за исключением того, что жидкость предполагается те­перь неньютоновской, подчиняющейся степенному закону. Уравнения (1.16) и (1.17) для неньютоновского течения запишут­ся так:

эу^ Эг

дР 1 Э

= - тН гг)

(1.35) (136)

Эг гЭг

A<L{r*L г Эг Эг

где л определяется из (1.34).

Ду

В цилиндрических координатах только v. является единствен­ной ненулевой компонентой скорости, а так как ее производные по г и 0 равны нулю, то скалярный инвариант (Д:Д) примет вид:

l. ikiiM образом, r определяется выражением:

(1.37)

Ч = Ло|уГЛ

i. ie приведенная скорость сдвига у выбирается равной 1 с1.

I i in ось zориентирована так, что давление возрастает с увели­чением z, то жидкость будет течь в направлении отрицательных т. пений z, а скорость сдвига у положительна для всех значений / < лсдовательно, знак абсолютной величины в уравнении (1.37) мо+.ei быть опущен. Подставляя (1.36) в (1.35), получим уравне­ние

(1.38)

dZ

при интегрировании которого будем иметь:

1 dP С

(1.39)

------ г--- !

дг

2ro dz Г

Учитывая, что скорость сдвига на оси трубы должна быть рав­ной пулю, получим, что постоянная интегрирования равна нулю. При интегрировании уравнения (1.39) получим:

1 dP

Д Щ

■’ +с2,

(1.40)

П+ 1

2tio dz

л *

I до постоянная интегрирования С*определяется из условия

vz(^)~ 0 (1-41)

1

Но вычислении С2 уравнение (1.40) примет вид:

(1.42)

( корость на оси трубы г0, полученная подстановкой г = 0 в уравнение (1.42), определяется выражением:

dP

я+|

(1.43)

v0=-Rп

п + 1 По dz

i. ik что уравнение распределения скоростей может быть записано

и виде:

г

v0

v =

(1.44)

33

l/Ui

Заметим, что в частном случае, при п = I, формула (1.44) пере­ходит в выражение для ньютоновскою течения, рассмотренного в примере 1.1. Чтобы получить распределение температуры, подставим выра­жения (1.37) и (1.39) в уравнение (1.36). После однократного ин­тегрирования, имеем:

. д*1

А

ЭГ дг

1 ЬР 2по dz

2п+1

ПО п к З/i+l

(1.45)

где постоянная Сз должна быть принята равной нулю, так как гра­диент температуры на оси трубы равен нулю. При интегрирова­нии уравнения (1.45) получим:

.л±1

1 <)Р 2по dz

/’ =-Hi к

г " +С4.

(1.46)

3/»+1

Константа интегрирования С4 вычисляется из условия 7R) =TW, где Tw - температура стенки грубы. Следовательно,

. a±i

2a±L

. 7. по Г п ] w Л' [ 3/1 +-1

дР

R

1-

(1.47)

2 По dz

Разность температур жидкости на оси трубы и на стенке, полу­ченная подстановкой г - 0 в указанное выше уравнение, равна:

Oil

1 Э р V 2По dz }

= ПоГ _п_ " к {3/» +

?ntl

Тп-П

R

(1.48)

так что уравнение (1.47) можно записать в эквивалентной форме: Зя+1

r0-rw