Рассмотрим тонкий слой жидкости, заключенной между двумя бесконечными параллельными пластинами, одна из которых не­подвижна, а к другой приложено сдвигающее усилие /-’(рис. 1.2, а). Верхняя пластина под действием силы Сбудет сдвигаться относи - 1слыю параллельной ей неподвижной плоскости со скоростью v, постоянной до тех пор, пока сила /'неизменна. Поскольку даже пссмачивающая жидкость прилипает к ограничивающей ее стенке гак, что прекращается движение жидкости относительно стенки, жидкость у нижней пластины имеет нулевую скорость, тогда как - корость ее у верхней пластины равна v и совпадает по направле­нию с действием силы. Так как в стационарных условиях сдвигаю­щая сила передается равномерно через жидкость к нижней плос-

17

)

4 МО

Подвижная /^/скорость^/У/

Рис. 1.2. Течение жидкости между плоскоиарахкмьиычи пластинами (а и б — см. текст)

4Z22

v + d V'

F77/^LLi////A

кости, каждый слой жидкости в пределах пространства высотой /; будет перемешаться относительно следующего слоя так, что изме­нение скорости в зависимости от расстояния между ними (гради­ент скорости) будет постоянным.

Математически отношение между напряжением сдвига и вызы­ваемым им изменением градиента скорости (поскольку dv/d/i по­стоянно и равно v/h) может быть выражено одним из следующих уравнений:

F р dv T = M“jT» d/i

(1-6) (1.7)

где I — напряжение сдвига; S — плошалi. поверхности пластины; р — коэффицм - ент пропорциональности (ньютоновская вязкость).

Уравнение (1.7) можно записать и в другом виде. Для этого рас­смотрим элемент жидкости высотой d/;, вырезанный из слоя жид­кости, заключенной между двумя бесконечными плоскостями (рис. 1.2, б).

В случае идеальной ньютоновской жидкости изменение дефор­мации происходит во времени. За время d/ это изменение равно расстоянию, на которое передвигается верхняя пластина |7|:

(1.8) (1.9)

d/ = (v + dv)d/-vdv = dvd/.

Дифференциал деформации сдвига г/у равен:

dv d/

, d /

dY = -77 d/i

d/i

Деля обе части выражения (1.9) на d/, получим:

С учетом выражения (1.10) уравнение (1.7) приводится к виду:

т = ру-

(III)

Ньютоновская вязкость ц зависит только от температуры и дав - 1Сния и не зависит от скорости сдвига у.

График зависимости напряжения сдвига от скорости сдвига — гак называемая кривая течения — для ньютоновской жидкости представляет собой прямую линию с тангенсом угла наклона р. )га единственная постоянная полностью характеризует жид­кость. Все газы, жидкости и растворы с относительно низкой мо­лекулярной массой ведут себя как ньютоновские жидкости в пределах достижимой точности эксперимента. Все расплавы и растворы высокополимеров относятся к неньютоновским жидко­стям.

Уравнение (l. l I) является частным случаем применения к илоскопараллельному сдвигу общего реологического уравнения ньютоновской жидкости. Оно может быть записано в виде:

! it* к — коэффициент объемной вязкости; ц — коэффициент вязкости при сдвн - и1вом течении.

Компоненты Ду тензора скоростей деформации Д и 5;, единич­ного тензора 6 определяются следующим образом:

6/j = 0, если / * j = I, если /' =j.

не между х, у, z и системой индексов I, 2, 3 существуют следую щие соотношения:

X, = X, *2 = У, х} = г.

В частном случае, когда / = 2 и у = 1, уравнение (1.12) примет

или в системе индексов х, у, z:

вид

Заметим, что если бы vy было равно нулю, как при плоскопа - раллельном сдвиговом течении, то уравнение (1.13) упрости­лось бы:

Математическая формулировка задачи течения всегда приводит к системе уравнений, состоящих из реологического уравнения, уравнений неразрывности, движения, энергии и уравнения состо­яния жидкости. Решением задачи являются функции, удовлетво­ряющие этим уравнениям и определенным граничным условиям.

Для упрощения постановки задачи ньютоновского течения ниже приведены скалярные уравнения (1.12) в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах.

Прямоугольные координаты (х, у, z)'-

Цилиндрические координаты (г, 0, z):

T1»=+M[2(^+^)'f(v'v)]+x(v‘');

+ K(Vv);

rA( vr V 1 dvr drl r I г Э0

TK=+p

Эу0
dz	г ЭО ]
	+*ь)
Эг	Эг ’

=4r = +H *0:=*гО = +И V=T/t =+V

-ч1э, , i3v0 Ov.

(v-v) = -—(rv,)+—-ii + — v ' rdrK r> гЭе dz

Сферические координаты (г, 0, ср):

V = +Р %> = +И

2^-f(Vv)]+s(Vv);

Хй^НН»™

sinO Э	S 1, 1 Эу0
г ЭО	sin0 1 rsinO Эф

с) f V0 Л 1 dvr г— — 1+ - дг[ г г ЭО

1 dv. Э - + г—-

_ф г

trt)=T0r =+й *Оф=тфв =+И V=T«p = +>4 I э

rsinO Эф дг I Э

(V - v) = -!r—(/2vr) + ———(v0sinG) + —?—

г2 дЛ ' rsinO ЭО rsinO Эф

Решение простой задачи ньютоновского течения иллюстриру­ется примером 1.1 111.

Пример 1.1.

В этом примере рассматривается установившееся ламинарное осесимметрическое течение несжимаемой ньютоновской жидко­сти через длинную трубу круглого сечения радиусом R. Темпера­тура стенки трубы Tw поддерживается постоянной. Задача состоит в отыскании распределения скорости и температуры в попереч­ных сечениях трубы, настолько удаленных от входа, что ни темпе­ратура. ни скорость не зависят от продольной координаты Z - Для простоты предполагается, что вязкость р постоянна.

В этой задаче все производные температуры, скорости и ком­понентов девиатора напряжений по переменным 0, г и / равны нулю, компоненты скорости v0 и v, равны нулю, и, вследствие того, что жидкость несжимаема, (Vv) = 0. Уравнения движения и энергии (см. с. 14—16) принимают следующий вид:

(1.14)

(115)

дР pdf dv. — = г— :

Эг г дг дг

/

Вводя в эти уравнения выражения для (см. выше) и q„ (см. табл. 1.1), получим:

(1.16)

Граничные условия этой задачи:

(1) v,(/?) = 0; (3) vj(0)=0,

(2) Г(/?) = ГИ; (4) 7"'(0) = 0,

Вследствие того, что левая часть уравнения (1.16) не зависит от г, его можно непосредственно проинтегрировать. В результате по­лучим:

Из третьего граничного условия следует, что постоянная интег­рирования С| равна нулю.

Распределение скорости, полученное при интегрировании уравнения (1.18), представляется выражением

гг дР г

г = 4^1Г ” (1-19)

которое при определении С2 из первого граничного условия и последующей подстановке в уравнение принимает вид:

-й

tf_dP 4ц Эг

v. = —

(1.20)

'Знак «минус» указывает на то, что жидкость течет в направле­нии уменьшения давления. Распределение температуры можно получить подстановкой ра­венства (1.18) в выражение (1.17) и интегрированием последнего. После первого интегрирования получим: 2 _3

Л dP

дТ А_1 О Г Г Г" [ Ly

(1.21)

Эг 4цк dz I 4 г

причем из четвертого граничного условия следует, что постоянная интегрирования С3 равна нулю. Интегрирование уравнения (1.21) дает выражение

Т — Л (9РУг* Г

4р*|ч dz ) 16 4’

которое при определении Q из третьего граничного условия при­мет вид:

(1.22)

т_т_шМР%(г*'

К

64 ц/; I dz

Скорость жидкости на оси трубы v. |г=,0 = v0 выводится из урав­нения (1.20):

R:dP

5Г»

4ц dz

а температура жидкости на оси трубы, рассчитанная по уравнению

11. 22), определяется выражением:

Г R*A(dP^ _4*Ур 64ц*| dz I 4*

ньютоновского течения через длин­

Tw F’hc. 1.3. Распределение безразмер-

y ных скоростей и температур для И IILUtmitfinrL'nrn Н1>П1< 1 iluu.

() s Если, например, скорость жидкости на оси трубы равна 0,1 м/с, вязкость жидкости о. б равна 104 пз (1()? И с/м2), а

коэффициент теплопроводно­сти — 10 3 калДсм • с • град) <М (0,419 Вт/(м ■ град)], то тем­

пература жидкости на оси () 2 трубы будет на 6 °С выше,

ную трубу

чем у стенки грубы.

Разделив выражения (1.20)

и (1.21) соответственно на v<j

о 0.2 0,4 о. б 0,8 r/R и 7q — Tw, приведем их к без-

SHAPE * MERGEFORMAT

размерному виду:

На рис. 1.3 показана зависимость этих безразмерных перемен­ных от безразмерной координаты r/R.