Для решения задач статистической физики полимеров необходи­мо определить среднее квадратическое расстояние между концами

молекулы <h2>. Для вектора h имеем h=2a/; где ^ — число

1

звеньев в цепной молекуле. Далее можно записать:

**ehwf;a?+22; 2а<а*- (4Л)

/*=Х i~ 1 k=i--1

Чтобы упростить задачу, предположим, что все звенья одинако­вы по длине (полиэтиленовая цепочка). Тогда, учитывая, что а.;аь = а2 cos ©а, для среднего квадратического расстоянии получим следующее выражение (0гй. — угол между векторами а* и а&):

(h*) = Za2+2a*2 J (cos0ift>, (4.2)

где угловые скобки означают усреднение.

Очевидно, что в результате внутреннего вращения в промежуточ­ных звеньях, соединяющих два достаточно удаленных звена i и k, направления в пространстве удаленных звеньев будут совершенно независимы. Только для близлежащих звеньев наблюдается опре­деленная корреляция. Следовательно, при некотором числе звеньев k—i=s (или большем) имеем <cos &цг> ==0.

Введем обозначение At= ^ (cos®/*) и> отбросив все

k~i+1

<COS©j/i>=0, для которых k—i^s, получим

i+s

Ai= 2 (cos0«>’ <4-3)

£==/+1

где 5 — число, характеризующее жесткость цепи. Чем больше s, тем жестче цепь; для разных полимеров s различно. Два звена i и к9 разделенные 5—1 звеньями, статистически независимы. Оконча­тельно получим I

(h2) = Za2 -}- 2а2^ -4 i-

Очевидно, что для всех звеньев Аг=А имеет одинаковое значе­ние, за исключением звеньев, лежащих на конце цепи или вблизи него, т. е. отстоящих от конца цепи (i — Z) на число звеньев мень­ше s. Для полимерной цепи Z^$>s, поэтому доля звеньев, лежащих в конце цепи, весьма мала, и без существенной ошибки влиянием конца цепи можно пренебречь и считать постоянную Лг=Л одина­ковой для всех звеньев. Следовательно,

(/г2) — Za2 {1 —2(1 — 1/Z) Л), но, так как Z3> 1, окончательно получим

(A2) =Za2(--2A).

Отсюда следует, что среднее квадратическое расстояние между концами цепи <А2>1;2 пропорционально корню квадратному из числа звеньев или же из молекулярной массы цепи.