Двухуровневое планирование эксперимента с ис­пользованием матриц полнофакторного или дробнофакторного эксперимента позволяет при минимальном объеме эксперимента получить линейное уравнение регрессии (функции цели).

Методы планирования предполагают не только минимизацию объема эксперимента, но и отыскание оптимума (экстремума) функции цели. В таком случае уравнение регрессии должно аппроксимироваться полиномом второго порядка вида

У = Ро + Е № + Е Р//ВД + & (15.6)

1=1 , /—1 I—!

Для определения коэффициентов регрессии в уравнении (15.6) двухуровневые факторные эксперименты не пригодны, так как вектор-столбцы X* и Х в матрице планирования неразличимы. Поэтому для построения полинома второй степени необходимо варьирование факторов хотя бы на трех уровнях.

Двухуровневый эксперимент и линейную форму уравнения регрессии целесообразно использовать при отыскании подобла­сти экстремума (оптимума) функции цели. Переход к трех­уровневому эксперименту и квадратичной форме уравнения регрессии следует осуществлять лишь после установления не­адекватности линейной функции связи в подобласти экстре­мум а.

Согласно результатам исследований [58] наиболее рацио­нальным является центральное композиционное планирование. Центральный композиционный план второго порядка получают достройкой некоторого количества точек к ядру линейного двух­уровневого эксперимента. Если количество факторов /г менее пяти, за ядро плана принимают полнофакторный план экспери­мента типа 2*, если же более пяти — то полуреплику от ПФЭ типа 2*. Такой выбор ядра обусловлен тем, что от ядра требу­ется раздельная оценка всех линейных эффектов и парных эф­фектов взаимодействий.

Для трех факторов схема центрального композиционного плана второго порядка изображена на рис. 15.2. Чтобы полу­чить центральный композиционный план второго порядка для трех факторов, к полнофакторному эксперименту 23 добавляют шесть «звездных» точек с коэффициентами (/, 0, 0); (—I, 0, 0); (0, I, 0); (0, —/, 0); (0, 0, I); (0, 0, —/) и некоторое число п0 точек в центре плана. Центральный композиционный план для трех факторов можно представить матрицей вида (табл. 15.8).

15.8. Матрица центрального композиционного плана вто­рого порядка для трех факторов Содержание Плана Х. Х, X, X, Х, хг ХаХя Х2 У 2 Лз У План типа 1 + 1 + 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +Г У1 28 2 + 1 — 1 +1 +1 —1 —1 +1 4-і +1 +1 У* 3 + 1 + 1 —1 +1 —1 +1 —1 -и +1 +1 У* 4 + 1 —1 —1 +1 +1 —1 —1 -н +1 +1 У4 5 + 1' + 1 +1 —1 +1 —1 —1 -и +1 +1 Уш 6 + 1 — 1 +1 —1 —1 +1 —1 +1 4-1 +1 Ун 7 +1 -И —1 -1 —1 —I +1 +1 +1 +1 У7 8 + 1 — 1 —1 —1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 У* «Звездные» 9 + 0 0 0 0 0 0 ' 0 У> То чки 10 + 0 0 0 0 0 И И У го 11 + 0 0 0 0 0 С И Уи 12 + 0 0 0 0 0 0 И ^12 13 + 0 0 0 0 0 0 0 Ущ 14 + 0 0 0 0 0 0 0 У и Нулевая 15 + П 0 0 0 0 0 0 0 0 V Точка

Ортогонализация матрицы планирования осуществляется преобразованием квадратичных членов X? новой переменной х[

N

Х = Х]-!-=^- = Х*-ХТ2: (15.7)

После замены Х на X,- сумма построчных произведений столбцов

2 Ха, Х'ц = 2 X?/ — АГХГ2 - 0. (15.8)

/=| =і

Так, в матрице центрального композиционного плана (см. таблицу 15.8) получим

Е Хо, Хи = 2 х0,{хЬ-хт2) = Е *?/- 15ХГ2 - 1=1 /=1 ,=|

= 8 + 21»_к£±иЭ = О.

Аналогично находим для переменных Хг и Хз. Ортогонализация соотношения

ЕХ?/Хи, Ф0 (I Ф и, I, и= 1, 2, к) (15.10)

/=!

Достигается выбором звездного плеча I (табл. 15.9).

Количест­во факто­ров	Ядро Плана	Количест­во допол­нительных опытов	«Звездное» плечо 1
2	2а	5	1,000
3	2»	7	1.215
4	24	9	1.414
5	25—1	11	1.547

15.9. Значения звездного плеча I, вычис - (діОі'І) ленные для различного числа факторов

1-1,0,01 •*

(0, -1,0)

Рис. 15.2. Схема центрального компо­зиционного плана второго порядка для трех факторов

Если ортогональность выбрать за достаточный критерий опти­мальности плана, то на число опытов в центре плана не накла­дывается никаких ограничений и /г = 1.

Подставляя I = 1,215 в уравнение (15.9) и в аналогичные для Хч. и Х3, получаем ортогональный центральный композиционный план второго порядка для трех факторов в виде матрицы (табл. 15.10).

Ортогональность, однако, не есть [58] достаточно сильный критерий оптимизации композиционного плана второго порядка. Наиболее эффективно использование центральных композици­онных планов, отвечающих требованию ротатабельности, т. е. планов, позволяющих получать модель, способную предсказы­вать значения параметров оптимизации с одинаковой точностью независимо от направления на равных расстояниях от центра плана.

Содержание Плана	ЛЬ Пп.	*0	*1	*2	*3	Х, Х2	*2*3	*1*3	*1 - 0.73	А:|—о,7з	Х£_о,73	У
План 23	1	+ 1	+1	+ 1	+ 1	+ 1	+1	+1	+0.27	+0,27	4-0,27	Ух
	2	+ 1	-1	+ 1	+ 1	—1	+1	—1	+0.27	+0,27	+0,27	У 2
	3	+ 1		— 1	+ 1	—1	—1	+1	+0,27	+0,27	+0.27	Уг
	4	+ 1	—1	— 1	+ 1	+ 1	—1	—1	+0,27	+0,27	+0,27	У*
	5	+ 1	+ 1	+ 1	—1	+ 1	—1	—1.	+0,27	+0.27	+0,27	Уь
	6	+1	— 1	+ 1	— 1	— 1	—1	+1	+0,27	+0.27	+0,27	У6
	7	+ 1	+ 1		—1	—1	+1	—1	+0,27	+0.27	+0,27	У 7
	8	+ 1	—1	— 1	— 1	+ 1	+1	+1	+0,27	+0,27	+0,27	Уа
«Звездные»	9	+ 1.	+ 1,215	0	0	0	0	0	+0,746	—0,73	—0,73	У9
Точки /= 1,215	10	+ 1	—1.215	0	0	0	0	0	+0,746	—0,73	—0.73	У10
	11	+ 1	0	+ 1.215	0	0	0	0	—0,73	+0,746	—0.73	У XX
	12	+ 1	0	— 1.215	0	0	0	0	—0.73	+0,746	—0,73	У12
	13	+ 1	0	0	+1,215	0	0	0	—0,73	—0.73	+0.746	Ух 3
	14	+ 1	0	0	—1.215	0	0	0	—0,73	—0.73	+0,746	Уи
Нулевая Точка	15	+ 1	0	0	0	0	0	0	—0,73	—0,73	—0.73	Ухъ

327

Ротатабельность достигается выбором значения «звездного»

Плеча для ядра, содержащего полный факторный эксперимент, из к

Соотношения 1 = 24 (15.11), а для ядра, содержащего дробную

К—р

Реплику,— из соотношения / = 2 4 (15.12). Для ротатабельного планирования второго порядка важное значение имеет выбор

Числа опытов в центре плана, так как оно определяет характер

Распределения получаемой информации о поверхности отклика (уравнении регрессии). Число опытов в центре плана выбирается так, чтобы обеспечить так называемое униформпланирование. Униформпланирование возможно, если

} _ й (пс + По) /.г 104

* - (Г+2К • (15ЛЗ)

Где п:, — количество опытов в центре плана; пс = N — п0; N — общее количество опытов; к — число факторов. Необходимо, чтобы X было немного меньше единицы (табл. 15.11).

15.11. Данные для построения матриц, центрального компо­зиционного ротатабельного планирования второго порядка Количество факторов к Ядро Плана Количество точек ядра пя Количество «звездных» точек П[ Количество нулевых то­чек и0 «Звездное» плечо 1 Общее ко­личество опытов N 2. 21 4 4 5 1.414 13 3 23 8 6 6 1.682 20 4 24 1С 8 7 2,0 31 ■5 23 32 10 10 2,378 52 5 2Г)-| 16 10 6 2.0 32 6 26 04 12 15 2,828 91 6 2«-1 32 12 9 2,378 53 7 27 128 14 21 3,363 163 7 2?-1 04 14 14 2.828 92

Коэффициенты уравнения регрессии определяем, используя известные выкладки 158]:

2Цк +2) £ -2 ХС 2 £ Ху У;

(15.14) (15.15) (15.16)

Ьо =

N

/=1

£=1 1=1

&. = -£-£ ХцУп

Л /■= I

Г2 N

Ь, и = дД X, ХчХщУг,

Ьи = - ы - |с2 [(/г + 2) X - к £ Х2ЦУ, +

+ С* (1-Х) І £ ХїіУ і —2С £ У,, (15.17)

(=1 /=1 •=!

Где