Стробоскопический метод, предложенный Н. Минорским [321], основан на идеях, близких как к идеям асимптотических методов и методов разделения движений, так и метода точечных отображений. Эти идеи состоят в следующем. Пусть изучается колебательный 'процесс, близкМ к периодическому с некоторым (быть может заранее неизвестным) периодом Т. Будем наблюдать этот ^процесс в фазо­вом пространстве системы как бы в стро­боскопическом освещении, т. е. в дискрет­ные моменты времени, отстоящие на про­межутки времени Т. Если бы процесс был строго Г-периодичен, то изображающая (фа­зовая) точка М (назовем ее стробоскопи­ческой точкой) казалась бы неподвижной. Мв Если же процесс, например, близок к асимп - тотически устойчивому Г-периодическому, с'

то мы увидим эту точку «медленно»

перемещающейся по направлению к точке М*, отвечающей строго периодическому процессу (рис. 55). Естественно ожидать, что если бы удалось получить уравнения, описывающие траек­торию не самого изучаемого движения, а движения стробоскопи­ческой точки (стробоскопические уравнения), то эти уравнения, ли-нервых, оказались бы проще исходных и, во-вторых, позволи­ли бы пзучать характеристики движения, представляющие, как правило, основной интерес. Указанные стробоскопические урав­нения действительно удается построить, по крайпей мере в слу­чаях, когда исходные дифференциальные уравнения близки к точно интегрируемым, в частности — к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Существенно, что при этом вместо неавтономной системы с ^’-периодическими правыми ча­стями получается автономная система.

Рассмотрим систему.

* •

х = Х(х, у, І, ji), y = YU, у, t, р), (5.1)

относительно которой будем предполагать, что она близка к ли­нейной автономной, причем малый параметр ц^О характеризует степень этой близости, а X и Y есть Г-периодические функции t. Тогда посредством введения новых переменных
эту систему часто удается преобразовать к виду

Р = Р/(Р, Ф, t), - ф = — 1 + ф, t), (5.3)

где fug — периодические функции t с периодом Т. При р = 0 получаем движение изображающей точки р = ро, ^ = — t + ibo (ро и "фо — постоянные, определяемые начальными условиями), отвечающее ее равномерному движению по ходу часовой стрел­ки по окружности радиуса ро.

При р, Ф 0, разыскивая решение в виде рядов по целым по­ложительным степеням |х, находим

pit) = ро+ црі(£) +..., ^(і) = чро — t + р, ірі(і) +..., (5.4)

где

і

Pi (t) = f (po, 'Фс — ^i? ^i) dtu

(5-5)

ti it) = J g (p0, i£0 — lu it) dtf 0

Отсюда

P (T) = Po + V-TK (Po, If0), if (Г) = 1])0 — T + plTL (p0, •»]>„), (5.6)

причем

T

к (Po, •фо) = 4“ f / (Po, •фо — t, t) dt,

Ї (5.7)

L (Po, to) = 4" J g ^Po’ ^ dt-

0

Таким образом, смещения стробоскопической точки за период Т будут

Ар = р(Г) — ро = рЖро, фо)^,

(5.8) Дір = OpiT) — (фо — Г) = pL(po, гро)?1.

Если ввести элемент «стробоскопического времени» Дт = Т, то последним, в сущности, конечноразностным уравнениям будут отвечать следующие стробоскопические дифференциальные урав­нения:

-g = ptf(p,40, ^ = pL(p, -ф), (5.9)

которые уже являются автономными. Эти стробоскопические уравнения совпадают с уравнениями, получаемыми в соответст­

вующем приближении методом усреднения; заметим также, что рассмотрение точек, отстоящих на время Т, по существу озна­чает изучение соответствующего точечного отображения.

Посредством стробоскопического метода Н. Минорский рас­смотрел задачу о взаимной синхронизации двух маятниковых часов, которые идеализировал в виде индуктивно связанных ге­нераторов (автогенераторов Ван-дер-Поля) [194]. Можно ожи­дать, что геометрические образы, связанные с идеей этого мето­да, найдут применение и при решении иных, в том числе более сложных задач о синхронизации.