1. Краткий обзор развития и состояния проблемы. Ламповый генератор представляет собой автоколебательную систему, содержащую электрический колебательный контур и электронную лампу, в которой энергия источника постоянного тока преобразуется в энергию незатухающих электрических колебаний. В последние годы вместо электронных ламп в основном исполь­зуются полупроводниковые приборы, например транзисторы. Однако прин­ципиальною окшчии между ламповыми и полупроводниковыми генератора­ми нет, и поэтому в данном параграфе, если это не оговаривается особо, мы будем под термином «генераторы» понимать как те, так и другие. Различа­ют два основных типа генераторов: генераторы почти гармонических коле­баний, процессы в которых описываются квазилинейными дифференциаль­ными уравнениями (генераторы томсоновсвого типа, или квазигармониче - ские генераторы) и релаксационные генераторы, колебания в которых су­щественно отличаются от гармонических и даже могут иметь разрывный характер.

Проблема синхронизации взаимно связанных генераторов имеет боль­шое прикладное значение, в частности для радиотехники и биофизики (см. п. 4).

Имеется значительное число работ, начало которых было положено из­вестными исследованиями Е. Эпплтона [305], Ван-дер-Поля [334, 335], А. А. Андропова и А. А. Витта [6], где задача о синхронизации ламповых генераторов решалась в наиболее простой постановке — как задача о внешней синхронизации (захватывании) одного генератора заданным пе­риодическим воздействием. Обширную библиографию, а "также изложение оригинальных результатов можно найти в книге [10], в трудах Международ­ного симпозиума по нелинейным колебаниям (Киев, 1963), в монографиях А. Н. Малахова [181], А. Г. Демьянченко [112] и П. С. Ланды [171].

Кгтргтгелно, что сведение задачи о взаимной синхронизации генерато­ров к вырожденной задаче о захватывании возможно далеко не всегда, осо­бенно в случае, когда взаимодействующие генераторы обладают сравнимой мощностью. Поэтому все большее внимание уделяется исследованию взаим­ной синхронизации нескольких генераторов. Одна из первых работ данного направления принадлежит А. Г. Майеру [319]. В ней, как и в появившейся несколько позднее работе В. И. Гапонова [98], рассмотрены два связанных томсоновских генератора с мягким возбуждением колебаний.

Взаимная синхронизация двух генераторов томсоновского типа рас­смотрена К. Ф. Теодорчиком ‘[264]. Особое внимание в этой работе уделено взаимной синхронизации почти одинаковых генераторов. Было по­казано, что в этом случае при изменении расстройки возможны скачки ам­плитуды и частоты, которые впоследствии наблюдались Н. И. Есафовым [124]. В работе И. В. Акаловского [2] взаимная синхронизация двуг гене - иакіров изучена путем рассмотрения частотнофазових диаграмм.

Зазачи о взаимной синхронизации двух квазилинейных и существенно нелинейных осцилляторов изучались Г. Коломбо и Г. Джиованинни. Крат­кий обзор этих исследований и библиографические ссылки приводятся в докладе [154]. Взаимная синхронизация двух генераторов рассматривалась также Суезаки Теруо и Мори Шиузаки [331].

Взаимная синхронизация двух индуктивно связанных отражательных клистронов рассмотрена Р. В. Хохловым в работе [289]. Кратная синхрони­зация в двухконтурном генераторе изучена Г. М. Уткиным [268]. Н. Ми - порский изучил задачу о взаимной синхронизации двух генераторов квази - гармонических колебаний с помощью метода, названного им стробоскопи­ческим i[194] (см. § 5 гл. 11). Ранее близкая задача изучалась С. В. Беллю- стиньш [26], использовавшим метод Пуанкаре.

Взаимная синхронизация трех слабо связанных ламповых генераторов, по-видпмому, впервые была подробно рассмотрена В. Н. Парыгиным [226, 227], использовавшим метод Ван-дер-Поля и прием приближенного решения, предложенный Р. В. Хохловым [288]. В. Н. Парыгиным изучен как случай далеких по мощности генераторов, так и случай генераторов близкой мощности. Применение ряда приближенных приемов позволило автору построить области существования и устойчивости синхронных режимов генераторов в зависимости от их взаимных расстроек и других парамет­ров системы; результаты были подтверждены экспериментальным иссле­дованием.

Систематическое рассмотрение ряда задач о захватывании и взаимной синхронизации нескольких генераторов приводится в монографии П. С. Лан­ды [171].

Взаимная синхронизация двух «вязанных релаксационных генераторов (мультивибраторов) рассматривалась А. С. Бремзеном и И. С. Файнбергом [73], причем были обнаружены режимы кратной синхронизации и показа­на возможность генерирования колебаний связанной системой в случае, ког­да каждый из генераторов в отдельности не возбуждается. Пренебрежение так называемыми паразитными степенями свободы привело авторов к не­обходимости рассматривать колебания системы как разрывные, причем на­ряду с известной гипотезой скачка пришлось сделать дополнительные пред - ноло'кештп о характере поведения системы. Эти предположения (вне связи г зялячгй о синхронизации) обоснованы Л. В. Родыгиным в работе [244] лутчм рассмотрения спстемы с «паразитными емкостями».

Ряд задач о синхронизации томсоновских и релаксационных генерато­ров рассмотрен П. Н. Занадворовым [128, 129] и Г. А. Сидоровой [257, 258] посредством метода точечных отображений.

Задачи о взаимной синхронизации генераторов рассмотрены В. П. Ру - баником и Ю. И. Марченко [186, 187, 248]. Особенно подробно в указанных исследованиях, выполненных с помощью асимптотического метода, изуче­но влияние на процесс синхронизации наличия запаздывания в элементах связи между контурами генераторов. Это направление, начало которому бы­ло положено, по-видимому, в работах Б. Н. Горожанкина [103] и Г. Н. Ра­попорта [243], возникло, в частности, потому что в виде запаздывания час­то идеализируется (с целью упрощения исследования) действие волновых связей между генераторами. Работы данного направления суммированы ii кппге [248].

В ряде работ рассмотрена интересная проблема о взаимодействии к син­хронизации большого числа взаимно связанных генераторов в связи с аль­тернативой «упорядоченность (в частности, синхронизация) — стохастич - ность». Результаты некитирых из этих работ рассмотрены с обзоре [240] (гм. также п. 2 и гл. 9).

Захватывание и взаимная синхронизация генераторов при наличии флуктуаций рассмотрены в монографии Р. Л. Стратоновича [261] п в уже упоЕимавпшхся монографиях А. Н. Малахова [181] и П, С. Ланды [171].

Интерес к проблеме взаимной синхронизации многих генераторов в последнее время стимулируется исследованиями по биофизике и биологии; о некоторых из этих работ говорится в гл. 8.

Приведенный краткий обзор работ в области синхронизации генерато­ров не претендует на полноту и систематичность; более подробно о неко­торых из работ будет сказано ниже в данном параграфе, а также ® гл. 8 и 9.

Наличие упомянутых монографий с систематическим изложением ре­зультатов позволяет ограничиться ниже лишь краткой характеристикой за­дач, указанием некоторых основных закономерностей и главных областей приложения синхронизации генераторов.

2. Генераторы томсоновского типа*) (квазилинейные автоге­нераторы Ван-дер-Поля). Наиболее распространенной моделью ге­нераторов колебаний, близких к гармоническим, т. е. генераторов томсоновского типа, являются так называемые автогенераторы Ван-дер-Поля, описываемые дифференциальным уравнением

х + а? х = (ic'd — х*)х, (2.1)

также получившим название уравнения Ван-дер-Поля (ю, a', v и ц — положительные постоянные, причем р. в данном случае счита­ется малым параметром; при больших ц автоколебания, описывае­мые уравнением (2.4), носят характер релаксационных). Уравне­ние (2.1) соответствует простейшей автоколебательной системе: положение равновесия х = 0 для этого уравнения неустойчиво, как и положение равновесия для близкого к (2.1) при малых х

линейного уравнения х — ца'х + <£>*х = 0; напротив, при больших х уравнению (2.1) соответствуют затухающие колебания (слагае­мое ра'<(1 — з?)} отрицательно); автоколебаниям (предельному циклу) соответствует единственное периодическое решение урав­нения (2.1), характеризующееся некоторыми «промежуточными» значеннями х:

х = (2/Vv)cos т + 0(р). (2.2)

Если имеется некоторое число к генераторов с различными значениями параметров to, а', р и v, то они будут генерировать колебания, вообще говоря, различных частот. Если же генераторы связаны в единую систему, описываемую, например, уравнениями вида

Г ~ - ■ ~

xs ' о) ^ .y's — asсо (1 j “І" Лі (fy-'j - Cj ~ I ~ bsj (0Xj "■}- bsj to Xj)

3=1

(s = l, k), (2.3)

гЛ9) ~

где osj и со — некоторые постоянные, о смысле которых сказа­но ниже, то в такой системе может возникнуть синхронизация,

*} См. [57].

т. е. колебания с одинаковой частотой to или с соизмеримыми час­тотами rijiо (щ — целые положительные числа); возможна и само­синхронизация на комбинационных частотах (см. § 1 гл. 4). Урав­нения (2.3), очевидно, соответствуют предположению о линейности

связей между генераторами. При этом слагаемые с ЦвР отвеча­ют индуктивной связи, с — связи через омическое сопротив-

1.(0)

ление, ас bsj — емкостной связи; соответствующие названия НОСЯТ И коэффициенты bgj* и

Рассмотрим синхронизацию автогенераторов Ван-дер-Поля в случае чисто индуктивной связи, когда О, = 0, blf—-bsj. Этот случай, конечно, является в известном смысле вы­рожденным; изучение общего случая не представит особых за­труднений. Рассматривая здесь простую (некратную) синхрони­зацию, будем предполагать, что частоты малых свободных колеба­ний о, (назовем их парциальными частотами) почти одинаковы, т. е. примем

(2.4)

©« = S2 (і — xs)

подобно тому, как это было сделано при рассмотрении задачи Гюйгенса (см. формулу (1.3) гл. 5 и пояснение к ней). Наконец, будем считать генераторы близкими к линейным и слабо связанными. Тогда после перехода к безразмерному време­ни т = tot система (2.3) может быть записана в виде

где

(2.6)

= а8 (1 — я") + ХА + 2

В результате замены переменных

(2.7)

•2-а “ і/я "Ь Ук+Ч &а я Унз)

(O fil

система уравнений (2.5) преобразуется к канонической форме

ys = Xsys + ui'’s (s = 1,

соответствующей форме уравнений (3.1) гл. 10. При этом поло­жено

Применим к системе (2.8) теорему § 3 гл. 10. Для этого заметим, что характеристические показатели порождающей системы

УЇ = КУІ (* = 1,...,2й), (2.10)

отвечающей уравнениям (2.8), являются критическими и образу­ют ведущую особую группу, причем указанная система допускает семейство периодических решений (с периодом 2я):

І t fo£.„eif, s = 1 ..к,

yS = ccseM = ’ ,,/ «>, (2-11)

W-*, * = fc + l, ..., 2k, v

зависящее от 2k произвольных постоянных ai, ..., «з*-

Составив выражения для порождающих функций jP„(ai, ... ..., <Х2А) и основные уравнения для определения параметров по­рождающего решения ai, ..., а,2к в соответствии с формулами

(3.5) и (3.6) гл. 40 и равенствами (2.6)—(2.11), легко убедимся, что они в точности совпадут с уравнениями (1.15) гл. 5, относя­щимися к задаче Гюйгенса; совпадает с уравнением (1.17) ука - занной главы также соответствующее уравнение, от характера корней которого зависит решение вопроса об устойчивости дви­жения. Различие состоит лишь в том, что теперь отпадает допол­нительное условие устойчивости (1.19) гл. 5, поскольку система связей не вносит в систему дополнительной степени свободы; более сложную структуру имеет в задаче Гюйгенса и величина 6,j, соответствующая коэффициенту индуктивной связи.

Таким образом, здесь можно почти дословно (лишь заменяя слово «часы» или «маятники» на слово «генераторы») повторить все сказанное в конце § 1 и в § 2 гл. 5. В частности, на генерато­ры распространяется все сказанное о синхронизации почти одина­ковых и одинаково связанных часов.

Одну из главных трудностей при конкретном анализе синхро­низации томсоновских генераторов, как и в задаче о часах, пред­ставляет решение системы уравнений типа (1.15) для стационар­ных значений амплитуд и фаз колебаний в синхронных режимах, установление условий существования соответствующих решений (т. е. нахождение областей синхронизации в пространстве пара­метров), а также отбор решений, отвечающих устойчивым движе­ниям. Для преодоления этой технической трудности предложен ряд приближенных приемов решения задачи, одним из которых является уже упоминавшийся метод Р. В. Хохлова [288]. Следу­ет, однако, иметь в виду, что такие приемы пригодны лишь при выполпенпп некоторых ограничительных условий, в противном случае они могут привести к существенным ошибкам. Широкое применение в последние годы находят также методы непосредст­венного решения исходных дифференциальных уравнений на ЭВМ (см. ниже в данном пункте, а также § 2 гл. 8).

Синхронизация томсоновских генераторов характеризуется ря­дом примечательных закономерностей, описание которых можно найти в уже цитированных в п. 1 монографиях [171, 181, 247, 248]; см. также § 2 гл. 8.

Из числа таких закономерностей здесь отметим часто имею­щее место сужение (при прочих равных условиях) областей суще­ствования и устойчивости синхронных режимов по мере увеличе­ния числа генераторов к. Вместе с тем явления синхронизации при определенных условиях отчетливо наблюдаются даже в случае очень большого числа слабо взаимодействующих генераторов или вообще объектов типа нелинейных осцилляторов. На это обстоя­тельство обратили внимание еще Э. Ферми, Д. Паста и С. Улам, которые моделировали поведение осцилляторов под действием на­чального возмущения на цифровой вычислительной машине (см. § 3 главы VII книги [266]). Поведение системы оказалось резко не соответствующим равномерному распределению энергии по степеням свободы: как говорится в цитированной книге, в подоб­ных системах «не очень-то много перемешивания». При этом, как явствует из описания хода экспериментов, движение осциллято­ров сопровождалось явлениями синхронизации.

В качестве другого яркого примера можно сослаться на ре­зультаты работы Аизавы [304], изложенные в обзоре [240]. В этой работе также путем численного эксперимента изучалось поведе­ние большого числа слабо связанных генераторов со случайным образом распределенными парциальными частотами со*; в качестве плотности распределения было принято распределение Лоренца:

/(0>) = п[£2 + (т-ю0)*]-

Система вазимодействующих генераторов описывалась уравне­ниями

Аа = ysAs (4S20 — Af) + as (Au...,4 4>i, • ■ •, 4>h).

(ps = cos - f - Ps (Au ..., Afa (pj, ..., (pjj) (s = li • • •, &)«

представляющими собой обычные приближенные уравнения для амплитуд As и фаз <р„ получаемые из исходных уравнений типа

(2.3) в результате применения, например, метода медленно меня­ющихся амплитуд Вал дер-1 Іоля. При этом было принято

k

У в = А<л = 1, а* = - г 2 14» cos ~ ~

./=J

Ь

Ps = 2 sin ^'Г ; ~

что соответствует линейной связи между генераторами.

Результаты эксперимента представлены на рис. 42, где через ■ф — іф — toot обозначены фазы, через е — квадраты амплитуд гене­раторов, а через Т — период 2л/too - Как видно, при значительном начальном разбросе амплитуд и фаз уже по прошествии 80 периодов устанавливается синхронный режим колебаний гене­раторов.

Рис. 42.

Заметим в заключение, что модели генераторов томсоновского типа широко используются при изучении явлений синхронизации не только в радиотехнике и радиофизике, но также и в механике и биологии (см. гл. 8). Напомним, в частности, что такая модель была, по существу, использована при рассмотрении синхронизации маятниковых часов и лопаток турбомашин.

3. Релаксационные генераторы. Исследование синхронизации релаксационных генераторов представляет интерес для ряда при­ложений как из области радиофизики и радиотехники, так и из области биофизики и биологии. Это исследование связано со зна­чительно большими трудностями, чем рассмотрение синхрониза­ции генераторов томсоновского типа, ибо должно быть основано на рассмотрении дифференциальных уравнений, нелинейных в по­рождающем приближении. В качестве математических моделей релаксационных генераторов используются уравнения Ван-дер - Поля (2.1) при «немалом» значении коэффициента а = ра', урав­нения Хиггинса (см. § 2 гл. 8), а также некоторые другие урав­нения и системы уравнений.

При изучении релаксационных колебании часто оказывается целесообразным рассматривать уравнения с малым параметром при старших производных — так называемые сингулярно возму­щенные уравнения. Это соответствует пренебрежению в исходном приближении некоторыми степенями свободы и обычно приводит к рассмотрению разрывных колебаний. В связи с изложенным ис­следование синхронизации релаксационных генераторов требует привлечения специальных методов и приемов.

Краткий обзор работ по синхронизации релаксационных гене­раторов, выполненных применительно к задачам радиофизики и радиотехники, приведен в п. 1; о работах, связанных с приложе­ниями к химии и биологии, говорится в § 2 гл. 8; там же отме­чены основные закономерности синхронизации релаксационных генераторов. К чцслу главных из этих закономерностей относится расширение областей синхронизации при переходе от квазилиней­ных колебаний к релаксационным вследствие изменения парамет­ров генераторов, например, при увеличении параметра а — |ш' в уравнениях типа (2.1). Последнее связано со «сцеплением» ко­лебаний генераторов по высшим гармоникам.

4. Приложения синхронизации генераторов. О системах фазо­вой автоподстройки частоты. Эффекты самосинхронизации и за­хватывания генераторов находят ряд важных практических при­менений (см., например, [112]).

Одно из таких применений — стабилизация частоты колебаний мощного генератора, характеризующегося нестабильной частотой, маломощным генератором с весьма высокой стабильностью часто­ты. В этом случае при простой (некратной) синхронизации синх­ронизированный генератор можно рассматривать как усилитель мощности, причем оказываются реально достижимыми очень боль­шие коэффициенты усиления. В случае кратной синхронизации синхронизируемый генератор может играть роль делителя пли ум­ножителя частоты.

О возможностях использования эффекта самосинхронизации многих генераторов для получения колебаний высокостабильной частоты уже говорилось в п. 2. В ряде систем несколько самосин - хронизирующихся генераторов используются просто для получе­ния большой мощности генерируемых колебаний путем «сложе­ния мощностей» отдельных генераторов.

Если во многих случаях удается воспользоваться эффектом са­мосинхронизации генераторов, работающих па общую нагрузку, то встречаются также ситуации, когда необходимо прибегнуть к принудительной синхронизации. Одним из наиболее широко ис­пользуемых средств такой синхронизации являются системы фазо­вой автоподстройкп частоты, исследованию которых посвящена обширная литература; укажем, в частности, па монографию

В. В. Шахгильдяна и А. А. Ляховкина [298], а также на сборник [271]. В таких системах сигналы от синхронизируемых генерато­ров сравниваются по фазе в фазовом детекторе, после чего сигнал ошибки используется для регулирования частоты колебаний. Си­стемы фазовой автоподстройки частоты обладают рядом сущест­венных достоинств, но они, естественно, более сложны, чем систе­мы, основанные на использовании самосинхронизации.