Рис. 39.

а) б)

вращающегося жесткого ротора (рис. 39), выполнено посредством асимптотического метода вне связи с задачами теории синхро- пизации вибровозбудителей и других объектов с почти равно­мерными вращательными движениями; при этом рассмотрен случай движения вблизи резонанса, когда синхронная угловая скорость сепараторов а близка к частоте свободных колебаний вала в опорах р. Здесь мы покажем, что условия существования н устойчивости синхронных движений сепараторов, справедли­вые как вблизи, так и вдали от резонанса, легко получаются из общих соотношений указанных теории, причем при со»р они совпадают с найденными в работе [127]; остановимся также на анализе, этих условий. 13 и. И. Влехман

В статье К. Авотиня и И. Томашунса [1] высказано предпо­ложение о возможности явлений самосинхронизации в подшип­никах качения. Позднее была опубликована работа В. Ф. Жу­равлева и А. А. Лапина [127], в которой исследование самосин­хронизации сепараторов двух подшипников, служащих опорами

Задачу рассмотрим в той же постановке, что и в [127], Ос­новным предположением этой работы является допущение о воз­можности проскальзывания шариков в режиме гидродинамиче­ского контакта и, вследствие этого,— о наличии у сепараторов

«собственной» степени свободы: их угловые скорости <ps (s = = 1, 2) могут отличаться от кинематических значений £2,, соот­ветствующих качению шариков без проскальзывания. При этом уравнения поступательных колебаний ротора и уравнения дви­жения сепараторов записываются в форме (мы используем обо­значения, несколько отличные от принятых в [127]):

Здесь П — потенциальная энергия упругих сил, действующих в подшипниковых опорах, приближенно задаваемая в виде

П = г| с (ж2 + у1) — у (дг cos фі + q2 cos фа) —

— x (ft sin фі - f q2 sin ф2). (5.2)

&,(£2, — ф„) и Ba{Qs — ф„) — соответственно моменты сил вязкого и сухого трения, причем

(5.3)

где к, и Ъе — положительные постоянные, а І т) I < 1 (максималь­ный момент сил сухого трения при отсутствии проскальзывания шариков считаем равным моменту трения при проскальзывании). Через с обозначена радиальная жесткость подшипниковых опор, а через q, — коэффициенты, характеризующие дефекты (неточ­ности изготовления) подшипников; не нарушая общности, можно считать qs ^ 0, причем д, = 0 при отсутствии дефектов; запись (5.2) предполагает, что углы ф5 отсчитываются от оси Ох до направлений на сепараторах, относительно которых эти дефекты «одинаково расположены» для обоих подшипников. Если проскальзывание шариков отсутствует, то сепараторы вращаются с кипематичесшши значениями угловых скоростей Йі и Йг (считаем, что fii Ф Ог, например, вследствие неточностей изготовления подшипников; при fii = fi2 задачи о синхроннзашш не возникает).

В равенствах (5.1) и (5.2) хну — смещения ротора, <р« — углы поворота сепараторов, М — масса ротора, {} — коэффициент вязкого сопротивления его колебаниям, /»— моменты инерции сепараторов с шариками относительно оси вращения ротора,

Как будет ясно из дальнейшего, скорости Q] и Q2 во многом аналогичны парциальным угловым скоростям, введенным при изучении самосинхронизации вибровозбудителей (см. § 5 гл. 3).

При наличии проскальзывания шариков и выполнении опре­деленных условий возможны, по крайней мере, два режима син­хронного вращения сепараторов: режим с проскальзыванием ша­риков обоих подшипников, когда угловая скорость синхронного вращения сепараторов со отлична как от fli, так и от £2г, и ре­жим с проскальзыванием шариков только одного сепаратора, когда, например, со = £2i и Q% Фо.

Рассмотрим сначала первый режим, соответствующий задаче о внутренней (взаимной) синхронизации сепараторов. В этом случае при учете (5.2), (5.3) и после! введения обозначений

ч

z = y + ix,

цф„ = ks (£2, — со) + bs sgn (Qs — cps) + qs Im (ze^’Ti) (5.4) уравнения (5.1) могут быть представлены в форме

hф« + К (<ps — (0) = [гф8 (фІ5 фа, z) (s = 1, 2), (5.5)

2

Mz - f pz - f cz = 2 &et<P5, (5.6)

s=l

соответствующей форме записи уравнений задачи о простой (не­кратной) синхронизации объектов с почти равномерными вра­щениями (см. уравнения (4.2), (4.3) главы 12), в частности,

уравнениям задачи о самосинхронизации вибровозбудителей (см. уравнения (4.І4) главы 3). Чтобы получить результат, пригод­ный, как в резонансном, так и в нерезонансном случае, силы вязкого трения в уравнениях (5.6) не считаем пропорциональ­ными малому параметру р, как это было сделано в § 4 главы 3 для некоторого упрощения выкладок.

Отвечающая уравнениям (5.5), (5.6) порождающая система допускает семейство синхронных решений

фа == ~1“ Щ (** 1? (5 7)

г°=42^,("'+ч',)

3=1

А= У(р2 — со2)2 4/г2со2, р2 = с/т, 2п == p/m, cose = (р2 — сог)/А,

sin е = 2/мо/Д), - зависящее от двух произвольных параметров «і и а2, которые играют роль начальных фаз вращения сепа­раторов.

13*

Основные уравнения задачи (см. уравнения (4.6) главы 12) имеют вид

<Ф8 (Фх°, ф®, Z°)> = о (* = 1,2)

и после выполнения операции усреднения при учете формул (5.4) и (5.7) записываются в форме

Рх (а, со) == A [fcj (Qx — со) + bx sgn (Qx — to) — Wx (а, со)] = О,

1 (5-8)

Р2 (а, to) == г [fc2 (Qa — to) + Ъ2 sgn (fi2 — со) — (а, со)] = О

2

(а = 0.2 — ai).

Здесь выражения

о

W, (а, со) = - ?1 Im z0e-i<pi/ = - ^ Im 2 =

j=l

= Щ sin E ~ Ш sin (“ ~ E) = Ai I? i sin e — ?2 sin (а — є)], (5.9)

W2 (a, со) = A2 [g2 sin є + gx sin (a + є)]

(A = qjMA)

отвечают выражениям для вибрационных момептов в соответст­вующих задачах о самосинхронизации вибровозбудителей: и в данном случае самосинхронизация может возникнуть именно благодаря указанным моментам, характеризующим вибрацион­ную связь между сепараторами.

Через А„ в формулах (5.9), согласно (5.7), обозначены при­ближенные значения амплитуды вынужденных установившихся колебаний вала, обусловленных дефектами в s-si подшипнике.

Уравнения (5.8), подобно задаче о вибровозбудителях, могут быть истолкованы как уравнения равновесия средних моментов, действующих на сепараторы. Из этих уравнений должны быть определены разность фаз a = a2 —«і и приближенное значение угловой скорости синхронного вращения сепараторов со, которая в данном случае является заранее неизвестной.

Условия, при которых уравнения (5.8) имеют вещественные решения относительно а и ю, будут условиями возможности са­мосинхронизации сепараторов.

Необходимым и достаточным условием асимптотической ус­тойчивости синхронного движения, соответствующие определен­ным значениям а и со, найденным из уравнений (5.8), является неравенство:

* д(рг-р*) = Чр1-р*)

даг da

вытекающее из уравнения типа (4.24) главы 3 (достаточность этого условия в данном случае обусловлена учетом сил сопротив­ления по колебательным координатам в порождающем прибли­жении — см. уравнение (5.6)).

В случае второго режима, когда шарики одного из подшипни­ков не проскальзывают (пусть это будет первый подшипник), о = Qj, т. е. скорость синхронного вращения (о заранее извест­на и равна кинематической скорости сепаратора первого под­шипника. Здесь мы имеем задачу о внешней синхронизации (за­хватывании) вращения сепаратора второго подшипника враще­нием сепаратора второго подшипника. Необходимое при этом специальное рассмотрение легко проводится путем использования результатов п. 2 § 8 главы 3 или §§ 2 и 7 главы 10. Разность фаз вращения сепараторов а = аг — осі в данном случае опреде­ляется из уравнения

Р2 (a, Qj) е= 1 [к2 (Q2 — Qj) + Ь2 sgn (fij — Qj) — W2 (a, Q^] = 0,

2

(5.11)

которое совпадает со вторым уравнением (5.8) при ю = fii.

Условие, при котором из (5.11) определяется вещественное значение а, будет условием возможности синхронизации. Этому значению действительно должно соответствовать асимптотически устойчивое синхронное'движение, если

dP.(a, Q,) dPJa, QA q, q„

* = - toa = cos <а +£) < °- <5-12>

Заметим, что, как и следовало ожидать соотношения (5.11) и (5.12) формально получаются из (5.8) и (5.10) при к «>.

Для действительного осуществления рассматриваемого режи­ма необходимо, чтобы для значений а, удовлетворяющих соот­ношениям (5.11) и (5.12), выполнялось условие непроскальзы - пания шариков второго подшипника

WM, fii)l < Ъи (5.13)

Проанализируем вначале результаты, относящиеся к более простому второму режиму, когда шарики первого подшипника не проскальзывают.

При учете (5.9) уравнение (5.12) дает sin (<х + е) = Q2 = к* (Q« ~ Qi) + ь2 sg° (°а ~ fii) ~ 1iAisin еЛ (514)

Условием возможности синхронизации является неравенство

iQsl < 1, (5.15)

при выполнении которого уравнение (5.14) имеет два существен­но различающихся вещественных решения

а(0 = —е + arcsin Q2, а<2) = — є + я — arcsin Q2,

первому из которых, согласно (5.12), соответствует устойчивое, а второму — неустойчивое движение.

Нетрудно убедиться, что при fi2 > и вблизи резонанса, когда отстройка б = и — р = Qi — р мала и можно принять А = = У(р* — и2)2 + 4/г2о)2 « 2рУ82 + га2, условие (5.15) с точностью до обозначений совпадает с условием (2.2) работы [127], где оно получено иным путем и детально проанализировано.

Вместе с тем условие (5.15) сохраняет силу также и при любых о)/р. Если оi/p существенно отлично от единицы, т. е. дви­жение происходит вдали от резонанса, то трением в колебатель­ной части системы можно пренебречь, положив р « 0, га » О, sin е « 0. Если к тому же считать момент сил сухого трения Ъ2 пренебрежимо малым, то условие (5.15) примет следующий про­стой вид:

ft2jfi2 — S3il < <72^1 = 91^2 = qiq&/MA. (5.16)

Рассмотрим теперь режим с проскальзыванием шариков обо­их подшипников, ограничившись изучением движения вдали от резонанса, когда можно принять $»0, га«0. При этом выра­жения (5.9) для вибрационных моментов принимают вид

	(5.17)
	(5.18)
У~ V	/г - і л оЛХЗ)
л 11
■ 1 /

тЬ)™а-

Допустим, что

Qi < со < £2г-

Тогда при учете (5.17) из уравнений (5.8) находим со =^«1£21 - j - -(- А’2), sin ос

/

М (р2 — (о2) [я-jfCg (fij — Qj) + я-jb, +

(ki + я2) 9x?2

11 устанавливаем, что соотношение (5.18) действительно выпол­няется. если

Из (5.19) следует, что условием возможности рассматривае­мого синхронного режима вращения сепараторов является нера­венство

(S Г°і>+Ль« + Vi I < qiA = giA = у. (5.21)

h + h я[38]-» л/1 р2 — и21’

при выполнении которого уравнение (5.19) допускает два суще­ственно различающихся решения:

а(1> = arcsin Q, а(2) = я — arcsin Q. (5.22)

Первое из этих решений, как и в задаче о вибровозбудителях, условно назовем синфазным, а второе — противофазным.

Условие устойчивости (5.10) в рассматриваемом случае при­нимает вид

Сю2 — р2) cos а < 0. (5.23)

Отсюда следует, что в дорезонансной (докритической) области, где (о < р, устойчивым будет синфазное, а в послерезонансной (послекритической) области, где (о > р,— противофазное син­хронное движение. Согласно (5.7) противофазному движению со­ответствует взаимная компенсация колебаний ротора, вызванных дефектами в подшипниках: в частности, при q = д2 и Q«0 в этом случае будем иметь z° ~ 0, т. е. также х — 0 и у = 0. Синфазному движению, напротив, соответствует взаимное уси­ление колебаний (в том же смысле). Нетрудно заметить, что та же закономерность справедлива и для рассмотренного выше ре­жима с проскальзыванием шариков только одного подшипника.

Таким образом, и для данной системы при указанных выше,» сдобиях справедлив GOGOufCTtrihibi iZpiiriifiiYi Лаваля, о котором уже многократно упоминалось выше: в закритической области происходит своеобразная автоматическая балансировка ротора*).

fcAIQ2-Qi

В случае, когда сухим трением можно пренебречь (Ъ«О, ^2 ~ 0), условие возможности самосинхронизации сепараторов (5.21) принимает вид

< 9іА2 = q, Ax = ■ , М (5.24)

^1 “Ь *2 % М р

т. е. отличается от условия (5.16) лишь тем, что место коэффы - шента вязкого трения к2 занимает приведенный коэффициент тренпя kik-2/(ki + к2).

Из рассмотрения неравенств (5.15), (5.16), (5.21) и (5.24) вы-

екают следующие практические заключения:

1. Возможность самосинхронизации сепараторов номинально одинаковых подшипников при отсутствии сил сухого трения оп­ределяется соотношением параметров, характеризующих дефек­ты (неточности изготовления) подшипников: синхронизирующи­ми факторами являются дефекты, характеризуемые параметрами qi и <?2, а десинхронизирующими факторами — дефекты, обуслов­ливающие разброс кинематических значений скоростей £2г — £2i-

Этим самосинхронизация сепараторов существенно отличает­ся от самосинхронизацйи вибровозбудителей, для которых от не­точностей изготовления зависят лишь десинхронизирующие фак­торы, а возможность синхронизации обусловлена действием систематического фактора — наличием неуравновешенности роторов.

2. Самосинхронизация невозможна в случае достаточно боль­ших моментов сил сухого трения, препятствующих проскальзы­ванию сепараторов.

3. Важным синхронизирующим фактором являются колеба­ния ротора, вызываемые дефектами в подшипниках; их амплиту­ды Аг пропорциональны величинам q„ Поэтому приближение к резонансу благоприятно для возникновения самосинхронизации сепараторов, а увеличение сил вязкого сопротивления колеба­ниям вала — неблагоприятно.

Изложенное свидетельствует о том, что самосинхронизация сепараторов номинально одинаковых подшипников возможна лишь при некотором стечении благоприятных для нее обстоя­тельств, формируемых соотношением величин qu qi, £22 — fil, ъ 1, &2, и /с2, а также р и (о. Для суждения о реальной возможно­сти самосинхронизации необходима тщательная оценка этих ве­личии; необходимы также специальные наблюдения и экспери­менты.

Подчеркнем, далее, что самосинхронизация, сепараторов не обязательно приводит только к неблагоприятным последстви­ям — повышенному износу тел качения и колец, появлению не­которых видов колебаний и т. п. Как отмечалось, при определен­ных условиях в синхронном режиме возникает снижение уровня колебаний, и тогда, если это технически целесообразно, можно усилить тенденцию к синхронизации, например, путем искусст­венного формирования дефектов, характеризуемых величинами qi и q2.

Заметим также, что рассмотренная модель системы является достаточно грубой, ибо не учитывает ряда факторов, которые реально могут существенно влиять на самосинхронизацию се­параторов; из числа таких факторов укажем на нелинейность упругих характеристик опор, поворотные колебания оси ротора, гироскопический эффект, дефекты «высших порядков», не учтен - ные в выражении для потенциальной энергии (5.2).