ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

1.4.1. Основные понятия

Детали, узлы и готовые изделия мо­гут совершать механические колебания, т. е. представляют собой колебательные системы. Измерение параметров этих ко­лебаний позволяет оценивать качество колеблющихся объектов, в частности су­дить о наличии тех или иных отклонений от заданных свойств. Это дает возмож­ность использовать анализ колебательных характеристик для неразрушающего кон­троля.

Различают колебательные системы с сосредоточенными и с распределенными

постоянными.

Элементы системы с сосредоточен­ными постоянными - масса, упругость и активное сопротивление. Предполагается, что каждый из этих элементов обладает только каким-либо одним из упомянутых свойств. Это является идеализацией, так как в общем случае реальные элементы этому условию не удовлетворяют. Напри­мер, элемент упругости - пружина - все­гда имеет определенную массу, а элемент массы, например гиря, обладает некото­рой упругостью. Тем не менее, в опреде­ленных условиях такая идеализация до­пустима и полезна. Простейший пример - подвешенный на пружине груз, погружен­ный в вязкую среду. Здесь пружина пред­ставляет собой упругость, груз - массу, а сопротивление движению груза в вязкой среде - элемент трения. В системах с со­средоточенными постоянными колебания элементов массы и упругости происходят относительно положений их равновесия и не распространяются в окружающую сре­ду. Если такая передача и наблюдается, то она учитывается лишь как вносимые в систему потери на излучение.

В действительности элемент массы не является материальной точкой, а пред­ставляет собой тело конечных размеров, которое обладает не только массой, но и определенной упругостью. Деформация такого тела сопровождается потерями на внутреннее трение. Следовательно, в об­щем случае одно и то же тело имеет массу, упругость и активное сопротивление, ко­торые неразрывно связаны между собой и не могут быть разделены. Системы, где каждый элемент рассматривается как об­ладающий всеми тремя из названных ха­рактеристик, разделить которые невоз­можно, называются системами с распре­деленными постоянными.

В отличие от описанных ранее коле­баний упругой среды далее рассматрива­ются колебания систем, хотя здесь неиз­бежны некоторые повторения.

Если в какой-либо точке упругой среды действуют переменные силы, то в этой среде возникают переменные дефор­мации, смещения и напряжения, которые распространяются от точки возмущения в виде упругой волны, движущейся с опре­деленной скоростью в пространстве. Та­ким образом, колебания происходят не только во времени, но и в пространстве. При этом частицы среды колеблются от­носительно положения равновесия. Про­стейший пример колебательной системы с распределенными постоянными - тонкий длинный продольно колеблющийся стер­жень.

Во всех колебательных системах мо­гут наблюдаться вынужденные и свобод­ные колебания.

Вынужденными называют колебания, обусловленные действием внешней при­ложенной силы. Вынужденные колебания могут быть гармоническими (синусои­дальными), негармоническими (например, вибрация) или импульсными. После при­ложения возмущающей силы амплитуда колебаний устанавливается постепенно (переходный процесс). Время переходного процесса зависит от параметров колеба­тельной системы. С окончанием действия внешней возмущающей силы режим вы­нужденных колебаний прекращается и начинается режим свободных колебаний.

Свободными называют колебания, совершаемые системой после окончания действия возмущающей силы или систе­мой, выведенной из состояния равновесия и предоставленной самой себе.

Свободные колебания происходят на собственных частотах, значения которых определяются параметрами колебательной системы. Системы с сосредоточенными постоянными с одной степенью свободы (груз на пружине, маятник) имеют одну собственную частоту, более сложные сис­темы - несколько таких частот, а системы с распределенными постоянными - мно­жество (теоретически бесконечное коли­чество) собственных частот. В режиме вынужденных колебаний при совпадении частоты возмущающей силы с собствен­ной частотой системы амплитуда колеба­ний резко возрастает. Это явление называ­ется резонансом.

Учет потерь. Характер вынужден­ных и свободных колебаний зависит от потерь в системе. Эти потери определяют­ся поглощением энергии в материале сис­темы, ее нагрузке, элементах крепления, излучением упругих волн в окружающую среду. Количественными характеристика­ми потерь служат коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания и добротность [27, 123, 224, 300, 305, 312].

Коэффициент затухания колебаний а определяет закон убывания амплитуды А свободных колебаний во времени:

А =А0 e"<acos(co0t - cp),

где Ао - начальная амплитуда при t = 0; ©о - собственная круговая частота; ф - начальная фаза.

Промежуток времени т = 1/а, в тече­ние которого амплитуда уменьшается в е = 2,718 раза, называется временем релак­сации.

Логарифмическим декрементом за­тухания 0 именуют натуральный лога­рифм отношения соседних (отличающихся на период Го) амплитуд колебаний в мо­менты времени tnt + Т (рис. 1.66):

Величина 0 обратна числу периодов N, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раза: 9 = 1 IN. Очевидно, что время релаксации

т = АТ0

Добротностью называют величину Q = 2пЕ0/Е„,

где Е0 - энергия, накопленная в системе; Еп - энергия, теряемая за один период.

Приведенное определение справед­ливо для любых значений Q. Добротность показывает, во сколько раз амплитуда вы­нужденных гармонических колебаний при резонансе превышает амплитуду при час­тоте, много меньшей резонансной, при одинаковой амплитуде возмущающей си­лы.

На практике добротность определяют как отношение собственной частоты f0 системы к ширине полосы Д/ частот, при которых энергия колебаний составляет не менее половины энергии при резонансе, а

амплитуда >Д= = 0,707 от амплитуды

V 2

колебаний при резонансе (рис. 1.67):

ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Эта формула справедлива при значе­ниях Q > (5 ... 10). При более низких зна­чениях добротности она дает несколько завышенные результаты.

Размерность коэффициента затуха­ния- с'1. Добротность Q и логарифмиче­ский декремент затухания 0 - безразмер­ные величины.

ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Рис. 1.66. Свободно затухающие колебания

Параметры, характеризующие потери в колебательной системе, связаны соот­ношениями

а = соо/2Є = 0/Го=і; (1.42)

Т

0 = ^ = аГо=^ = л/Є; (1.43)

Q = п /0 = п/аТ0 = со0 /2а = nN. (1.44)

В режиме вынужденных колебаний потери в системе находят путем измере­ния добротности по ширине полосы про­пускания. В режиме свободных колебаний потери определяют измерением логариф­мического декремента затухания. Послед-

ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Рис. 1.67. Частотная характеристика колебательной системы с затуханием

ний удобнее вычислять по изменению ам­плитуды за п периодов колебания по фор­муле

e=IinA.

п Ап

В отличие от пространственного ко­эффициента затухания 8, характеризую­щего потери при прохождении волной расстояния г (см. разд. 1.1.1), параметры а, 0, Q, т определяют процесс убывания амплитуды колебаний во времени.

Понятие добротности применимо не только к механическим или электриче­ским колебательным системам, но и к ма­териалам [242]. Добротность материала определяется через волновое число и ко­эффициент затухания: Qu = к/28 (здесь 8 - пространственный коэффициент зату­хания, рассмотренный в разд. 1.1.1). Зна­чение (2м можно определить эксперимен­тально, например как добротность сво­бодного стержня из данного материала. Если 8 прямо пропорционален частоте, что справедливо для многих металлов на невысоких частотах, то Qu не зависит от частоты. Значения добротностей для ряда

ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

материалов даны ниже.

Алюминий............................... 10 000

Плавленый кварц...................... 5 000

Молибденовая сталь......... 4 700

Оконное стекло................... 910

Керамика.............................. 700... 5 000

Механическим импедансом Z [203, 300, 312, 317] называют комплексное от­ношение гармонической (синусоидаль­ной) возмущающей силы F, действующей на поверхности (или в точке) механиче­ской системы к средней колебательной скорости v на этой поверхности (или в точке) в направлении силы: Z = F/v. Меха­нический импеданс является комплексной величиной и имеет активную R и реактив­ную X составляющие:

Z = R +jX = z е, ф, (1.45) где j = V-I; IZI = R2 +X2 - модуль импеданса; ф = arctg-^ - фазовый угол.

Активная (действительная) состав­ляющая R импеданса характеризует необ­ратимые потери. Последние обусловлены поглощением в материале системы, поте­рями энергии в нагрузке и элементах кре­пления, а также излучением упругих волн в окружающую среду.

Реактивная {мнимая) составляющая X импеданса характеризует кинетическую и потенциальную энергию, запасаемую и отдаваемую реактивными элементами системы. Реактивными элементами сис­темы являются инерционность и упру­гость. Инерционность связана с накопле­нием кинетической энергии движущейся массой, упругость - с потенциальной энергией упругого элемента (например, пружины). Активная составляющая им­педанса всегда положительна {R > 0), инерционная положительна (+Х), упругая отрицательна (—X) . Размерность механи­ческого импеданса - Н с/м.

Рнс.1.68. Графическое представление
механического импеданса на комплексной
плоскости

В некоторых источниках инерционную состав­ляющую считают отрицательной, упругую - положи­тельной.

Подпись: Рис. 1.69. Распределение смещений, колебательных скоростей ( )и сил ( ) по длине продольно- колеблющегося свободного стержня: а ~ основная частота; б - вторая гармоника Механический импеданс представ­ляют в виде вектора на комплексной плос­кости (рис. 1.68). По горизонтальной (дей­ствительной) оси отложена активная со­ставляющая, по вертикальной (мнимой) — реактивная. Символ j на мнимой оси опу­щен. Так, импеданс Z имеет инерционно­активный характер, импеданс Z2 - упруго­активный.

Во всех реальных системах сущест­вуют потери, поэтому всегда R Ф 0. Ино­гда, если R « ІХІ, влиянием R можно пре­небречь. Этим пользуются, например, при рассмотрении влияния механического импеданса нагрузки на собственные час­тоты системы, когда основное влияние оказывает именно реактивная составляю­щая импеданса.

В отличие от волнового сопротивле­ния z = рс, являющегося параметром сре­ды, механический импеданс Z - параметр конструкции и в отличие от рс не является удельной величиной. Значение Z опреде­ляется свойствами конструкции, в частно­сти для многослойной конструкции - все­ми параметрами ее слоев. При этом значе­ние механического импеданса конструк­ции зависит и от удельных волновых со­противлений материалов составляющих ее слоев.

Расчет механических импедансов возможен и целесообразен лишь для про­стых колебательных систем (стержней, пластин и т. п.). Некоторые их модели рас­смотрены ниже. В сложных случаях (на­пример, применительно к многослойным конструкциям, состоящим из различных материалов) более надежные результаты дает эксперимент.

Комментарии закрыты.