В настоящей главе изложены некоторые методы, применяе­мые при решении задач о синхронизации, отличные от изложен­ных в гл. 10 методов Пуанкаре и Ляпунова. При этом наиболее подробно рассматриваются методы, используемые в настоящей книге, а также методы, еще не описанные систематически в су­ществующей литературе; другие методы изложены только в виде их основных идей. Также весьма конспективно изложен вариаци­онный метод А. И. Лурье, поскольку он проиллюстрирован на примере решения одной из задач о синхронизации.

§ 2. Асимптотические методы п принцип усреднения

Асимптотические методы в виде различных вариантов так на­зываемого принципа усреднения являются эффективным средст­вом решения задач современной теории нелинейных колебаний. Эти методы, одним из истоков которых явились известные работы Ван-дер-Поля, получили существенное развитие преимущественно в трудах отечественных ученых и в особенности в работах

Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [68— 71, 457, 188, 195].

При изучении вопросов о существовании и о нахождении уста­новившихся синхронных или периодических движений асимпто­тические методы не обладают какими-либо преимуществами по сравнению с методом Пуанкаре. Одпако эти методы позволяют рассматривать также процессы установления движении, близких к синхронным, а также некоторые иные стационарные движения, что в ряде случаев является важным.

Эффективность применения асимптотических методов, как и методов Пуанкаре — Ляпунова, существенно связана с характе­

ром зависимости правых частей дифференциальных уравнений задачи от малого параметра. Наиболее простым является случай, когда дифференциальные уравнения в результате надлежащих преобразований могут быть представлены в так называемой стан­дартной форме:

ж = [аХ (ж, t). (2.1)

Здесь ж и X—I-мерные векторы и ро. Обычно предполагается, что функции X представлены в виде

X (ж, і) = 2 eivtXv (ж),

V

где v — некоторые вещественные числа. Именно для уравнений вида (2.1) Н. Н. Боголюбовым была разработана и обоснована схема усреднения [68—71], состоящая в замене

x = l + nF1 (|, t) + p2F2 (1, t)+ ... + imF m (1, t), (2.2)

посредством которой уравнение (2.1) приводится к виду

І = іХ0 (1) + р2Р2 (£)+... 4- limPm (1) + VLm+1R (I, t). (2.3)

Пренебрегая в этом уравнении слагаемым іт+1 R (%, t), полу­чают уравнение, называемое усредненным уравнением то-го при­ближения, а соответствующее ему выражение (2.2) — то-м при­ближением. Функции Fi*i. і), F 2 (1, t), ... находятся при этом в результате подстановки выражения (2.2) в уравнение (2.1), раз­ложения в ряд по р и приравнивания слагаемых при одинаковых степенях р, в обеих частях получившегося равенства; функции ЗГ0(1), Р2(|), ... определяются также путем подстановки выра­жения (2.2) в уравнение (2.1) и разложения в ряд по р, но после усреднения правой части этого уравнения. Обычно ограничива­ются определением одного — двух приближений, что объясняется не только резким усложнением соотношений с ростом номера приближения то, но также и тем, что, как правило, уже первое или второе приближения дают решение поставленных приклад­ных задач. Здесь следует иметь в виду, что эффективность асимп­тотических методов определяется вовсе не свойствами сходимо­сти выражения (2.2) при то -»■ °°, а их асимптотическими свойст­вами при р. —*■ 0 для данного небольшого фиксированного то (отметим, что то-е приближение, согласно сказанному ранее, удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.1) с точностью до членов порядка р7'"!|).

Первое приближение ж = | определяется из уравнения

І = цХ0(1)^рМ{Х(1,і)}, (2.4)

і

где через М{} обозначен оператор усреднеппя по явно входя - щему времени t (предполагается, что соответствующее среднее существует). Во втором приближении

® = 1 + v2 “6 + цХЧ!, *), (2.5)

v

где знак ~ означает операцию интегрирования по явно входя­щему времени, причем | определяется из усредненного уравнения второго приближения:

Ї = ІМ{Х (1, t)} + v? M - Jr)x(l, t) J. (2.6)

Часто ограничиваются нахождением так называемого улуч­шенного первого приближения, в котором ж, как и для второго приближения, определяется равенством (2.5), но 1 находится из уравнения первого приближения (2.4).

Таким образом, можно сказать, что уравнение первого прибли­жения (2.4) получается просто путем усреднения правой части исходного уравнения (2.1) по явно входящему времени, а урав­нение второго приближения (2.6) — путем подстановки в эту пра­вую часть выражения (2.5) и такого же усреднения. Заметим, что уравнения (2.4) и (2.6), как правило,' проще для решения, чем исходное уравнение (2.1).

Приведение дифференциальных уравнений задач о синхрони­зации к виду (2.1) не всегда осуществимо. В частности, задачи о синхронизации механических объектов с вращательными движе­ниями таковы, что соответствующая система уравнений может быть записана в более общей форме:

х = |аАг (ж, у, t, ц), y = Y{x, y,t, y), (2.7)

где х Vi X — n-мерные, а у и Y — то-мерные векторы (п + т = 1, т¥= 0). Уравнения типа (2.2) известны под названием систем с многомерными быстрыми и медленными движениями (перемен­ные х, очевидно, описывают «медленные», а переменные у — «быстрые» движения). Для таких систем В. М. Волосовым была разработана специальная схема усреднения [93, 94], обобщающая описанную выше схему Н. Н. Боголюбова.

Подробное изложение асимптотических методов можно пайти, например, в монографиях [71, 94, 188]. С помощью различных модификаций этих методов решен ряд интересных с принципи­альной и прикладной точек зрения задач о синхронизации лампо­вых, полупроводниковых и квантовых генераторов [171, 181,248], небесных тел [23], возбудителей механических колебаний [148, 241, 242, 299, 300]. Сошлемся также на исследование синхрони­зации весьма общего математического характера, содержащееся в статье [109].