Полученные в настоящей главе результаты приводят к весь­ма существенному выводу о том, что тенденция к синхронизации (см. § 1 гл. 1) свойственна весьма широкому классу динамиче­ских систем вне зависимости от их конкретной природы. Дейст­вительно, как в случае объектов с почти равномерными враща­тельными движениями, так и для существенно неизохронных квазиконсервативных объектов и для несомых тел в орбиталь­ных системах, уравнения для определения фаз «і, ..., ак в син­хронных движениях (основные уравнения) записываются в форме

^ + Л = о (e = l,..Mfc), (7.1)

где Л = Л(аі, ..ал) — усредненная функция Лагранжа систе­мы иди простая линейная комбинация (со знаками плюс или минус) усредненных функций Лагранжа отдельных частей си­стемы, а функции А, — А.(а, ..., а*) — усредненные величины неконсервативных обобщенных сил. При этом Л непременно ЯВ - ляется 2я-периодической функцией каждой из фаз «і, ..а*. Но тогда, согласно изложенному в § 9 гл. 10, устойчивые (в ма­лом) синхронные движения существуют при весьма общих пред­положениях, если только достаточно малы усредненные некон­сервативные обобщенные силы А,. Последнее условие выполня­ется, например, для объектов типа рассмотренных в §§ 4 и 5 при условии достаточной близости их парциальных частот (угло-* вых скоростей) со,.

[1] В некоторых случаях объекты при отсутствии взаимодействия не могут совершать установившихся колебаний или вращений, а при нали­чии взаимодействия совершают синхронные колебания или вращения (см., например, § 6 гл. 3, § 2 гл. 6 и § 2 гл. 8).

[2] В работах по небесной механике и в ряде математических иссле­дований сложилась традиция говорить в этих случаях о резонансных соот­ношениях, просто о резонансах или об острой соизмеримости средних дви­жений (см. § 1 гл. 1. а также гл. 7), тогда как в общей теории колебаний, машиностроении, электро - и радиотехнике пользуются термином синхрони­зация, а под резонансом понимают усиление вынужденных колебаний в оп­ределенных диапазонах изменения частоты вынуждающей силы. Приня­тое в настоящей книге последнее словоупотребление соответствует между­народным рекомендациям по терминологии (см., например, рекомендации СЭВ 5.301-75).

[3] Такие моменты противостояния повторяются через каждые полто­ра года

[4] Термин «экстремальное свойство» предложен В. В. Белецким.

[5] Ег'ч-етвентто. что ттри этом важно определить, что именно понимает­ся под тенденцией к синхронизации. В данной книге предлагается говорить о такой тенденции при условии, что система имеет хотя бы одно движе­ние. устойчивое по соответствующим координатам или функциям от ко­ординат (подробнее см. § 1 гл. 1).

гения по «безразмерному времени» т = «г.

[7] Под <...> = -!5- I... dx здесь и ниже понимается оператор усред - 2я J о

[8] Здесь в в дальнейшем имеется в виду только либо устойчивость по А. М. Ляпунову, либо орбитальная устойчивость, причем в отдельных слу­чаях со специальными оговорками будет рассматриваться устойчивость по части фазовых координат, по функциям от координат или условная устой­чивость [178, 183].

[9] Например, в случае q = к* — 1, подставляя в (1.7) вместо со^ выра­жения Я, со и сокращая на со, найдем из получившихся к* — 1 линейных уравнений пг = — Д^^/Д, —, nfe*_1 = — гДе А — определи­

тель матрицы llnjpll (/, р = 1, ..., к* — 1), который в силу предположения о независимости соотношений (1.7) всегда можно считать отличным от ну­ля, a Aj — определитель той же матрицы, в которой элементы j-го столбца заменены на nh*v • • • > nk*,h*-i' ПРИ этом ШК так и Aj — целые числа.

Таким образом, величины пг, refe* будут целыми числами, по крайней мере, при любом = пД, где п — произвольное целое число; последнее и требовалось показать.

[10] Более подробно математический аппарат теории синхронизации рас­сматривается в третьей части книги.

[11] Под вибрацией здесь и ниже понимаются механические колебания, размах которых значительно меньше характерного размера колеблющегося тела, а период — некоторого характерного промежутка временя.

^ И. и. Блехмав

[12] С иных, более широких, хотя и более формальных позиций эта про­блема обсуждается в § 11.

[13] *) Обычно при рассмотрении задач о синхронизации вибровозбудите­

лей достаточно ограниться именно статическими характеристиками двига­телейі ибо постоянные времени механических переходных процессов оказы­ваются значительно большими, чем электрических (подробнее об этом см. в книге [57]). Несколько схематизированная типичная статическая харак­теристика асинхронного электродвигателя представлена на рис. 7, где че-

т(й) т (а} _т т(аЛ - _

Г"'.! ^дускт -^макс 11 ^неш ооозначены соответственно пусковой, максималь­ный и номинальный моменты, а через сокр, мном и мСИЕХр— соответственно критическая, номинальная и синхронная частоты вращения ротора.

[14] Напомним, что здесь и ниже скобки О указывают на усреднение содержащегося в них выражения за период но переменной t иди т. Допол­нительные (не выполняющие обычной роли) круглые скобки, в которые за­ключены обозначения функций, указывают, что эта функции вычисляются для порождающего решения.

*} Слвдуех у шгывать смысл величины а„, разъясненный в § 1; см. также сноску на стр. (7> .

[16] Понятие вибрационного момента, по-видимому, впервые было вве­дено П. Л. Капицей при решении задачи о колебаниях маятника с вибри­рующей осью [135].

[17] Напомним, что величины as = ±1, входящие в равенства (4.4) и многие последующие соотношения, в случае самосинхронизации отнюдь не являются параметрами рассматриваемой системы, а характеризуют лишь ІШІ исследуемого синхронного движения. Так, например, если О] = 1, 02 — — '. гг» = — 1 и т. д.. то это означает, что изучается синхронное двшкспис, в котором роторы первого и второго возбудителей вращаются в положи­тельном направлении (т. е. по ходу часовой стрелки), ротор третьего воз­будителя — в отрицательном направлении и т. д.

° И. и. Блехман > ;vi'7

[18] Заметим, что этот эффект используется в известной игре — упражне­нии «хула-хуп»; иб иных, более серьезных приложениях, см. [57], а так-" же § 15.

[19] Для существования таких многоугольников должны выполняться условия, при которых величины тієї, ..mhth могут быть длинами сторон ^-угольника. Например, при к = 2 должно быть т^і = m2e2, при к^З

к

ДОЛЖНО быть mtet < 2 тзг}-

5=1

[20] Заметим, что минимумы функции D, как нетрудно показать, явля­ются в данном случае грубыми. Исключение составляют некоторые вырож­денные случаи, основными из которых являются такие, когда минимумы — нестрогие, а значит, и негрубые (см. п. 2 § 6) В этих случаях условия ус­тойчивости, получаемые нз требования минимума функции D, будут лишь необходимыми; для получения достаточных условий здесь необходимо до­полнительное исследование.

[21] Напомним, что согласно принятому в § 5 определению под вибра­ционными моментами понимаются дополнительные слагаемые в уравне­ниях равновесия средних моментов (8.4), которые обусловлены колебани­ями тел, на которых установлены возбудители.

[22] Заметим, что формула К. Ш. Ходжаева отличается от приведенной здесь и в книге [57] тем, что в ней все числа а, считаются равными еди­нице. Кроме того, имеется отличие в знаке Ws, что объясняется иным оп­ределением вибрационного момента.

[23] Заметим, что основные уравнения типа (9-1) не учитывают некото­рые виды такой технологической нагрузки. Учет последней является, од­нако, необходимым лишь в случаях, когда вес находящегося в машине об­рабатываемого материала составляет существенную часть от веса рабочего органа машины (см. п. 5).

[24] Т. е. по отношению к устойчивой фазировке, соответствующей си­стеме без погрешностей изготовления и без влияния этих искажающих

факторов.

[25] Рассматривается наиболее распространенный случай простой (не­кратной) синхронизации дебалансных возбудителей; в случаях, когда это предположение не обязательно, делаются соответствующие оговорки.

Прежде чем приступить к исследованию, полезно убедиться, что сис­тема не была рассмотрена ранее. В частности, можно просмотреть таблицу, приводимую в п. 3 § 10, или более полную табл. 5 в конце книги [57]; не­обходимо также иметь в виду, что ряд классов систем рассмотрен в общей форме (см. пп. 5 и 7 § 8).

[26] = М (р2 — 0)2) Sin откуда Кии = 1/[м (Рх — “*)]• та®. как и Ранее.

Px—icx/M. Подставив выражение Кии в формулу (8.43), приходим, как и должно быть, к формуле (4.20) для вибрационного момента W[K

Пример 2. Самосинхронизация двух дебалансных вибровозбудителей і La мягко амортизированном плоско колеблющемся твердом теле. Схема рассматриваемой системы представлена на рис. 15. Несущее твердое тело В0 может совершать движение параллельно плоскости, которая перпендику­лярна осям вращения роторов возбудителей, предполагаемых номинально одинаковыми; центр тяжести тела лежит в плоскости, проходящей через указанные оси, и удален от них на одинаковые расстояния г. Предполагаем,

[27] Выяснение оптимальных ели просто рациональных законов и пара­метров колебаний представляет особую задачу, относящуюся к теории ви­брационных процессов.

[28] Разумеется, можно было бы обеспечить колебания тела в условиях рис. 17, а путем установки всего одного дебалансного возбудителя. Однако прн этом возникла бы неуравновешенная сила в направлении, перпенди­кулярном колебаниям, что, как правило, нежелательно.

[29] В варианте установки, показанном на рис. 22 и 23, пружинные под­вески 5 вибрирующего органа, изображенные на рис. 21, заменены мягкими резиновыми жгутами, что существенного значения не имеет.

[30] Здесь приводится краткая сводка важнейших закономерностей и па­радоксов самосинхронизации механических вибровозбудителей, которые были описаны в настоящей главе.

[31] О понятии грубого минимума см. § 8 гл. 10.

[32] См. примечание 2) в п. 3 § 10.

[33] О другом интересном обобщении принципа Лаваля — на случай вра­щающегося на струнном подвесе твердого тела — см. работу [192].

[34] Нами используются обозначения, несколько отличные от обозначе­ний цитируемой работы; кроме того, мы считаем для общности число ша­риков к произвольным.

[35] Строго говоря, к неравенствам (2.17), как и в - задаче о синхрониза­ции вибровозбудителей, следует присоединить также некоторые дополни­тельные условия устойчивости (см. § 4 гл. 3). Однако и в данном случае эти условия существенного значения при достаточном удалении от резо­нанса не имеют.

[36] Мы не останавливаемся здесь на обосновании способа введения ма­лого параметра, ибо он вполне авалогачен многократно, использовавшему­ся выше.

[37] Некоторые из сделанных предположений не обязательны для спра­ведливости основных выводов и приняты лишь для упрощения рассуж­дений.

[38] Идея о возможности использования эффекта самосинхронизации для - ‘Нимной компенсации колебаний роторов, вызываемых. несовершенства­ми полшцП'Никовых опор, была ранєє сооипхена Бвтору Ю. ТО. Гєдявичуссм,

[39] Описание и исследование динамических моделей механизмов часов (часовых ходов) можно найти в работах 3. М. Аксельрода [3, 4] и Н. Н. Ба­утина [20]. Ударные и безударные модели ходов с одной степенью свободы рассмотрены также в монографии [10].

[40] Подчеркнем наряду со сходством некоторые существенные различия между введенными здесь парциальными частотами маятников (и вообще объектов типа квазигармонических автогенераторов) и парциальными угло­выми скоростями впбровозбудителей cos (и вообще объектов с вращающи­мися роторами), введенными в § 5 гл. 3. Так, парциальные частоты cos — не­отрицательные величины, тогда как парциальные угловые скорости могут

быть и отрицатеяьнымг.

[42] Заметим, что число критических корней ведущей особой группы здесь обозначено через 2к, в то время как в § 3 гл. 10 это число обозна­чалось через к.

[43] См. сноску еэ стр. 203.

[44] Заметим, что под синхронизацией в электротехнике обычно пони­мают систему операций по введению в синхронный режим (устойчивый в ограниченной части фазового пространства — см. ниже) подключаемой син­хронной машины. Говоря же об устойчивости параллельной работы не­скольких электрических машин, обычно имеют в виду синхронизацию в том смысле, в каком этот термин употребляется в настоящей книге.

[45] Это объясняется тем, что рассматриваются такие режимы работы машин, которые с достаточной степенью точности могут быть сведены к так называемым симметричным.

[46] До Н. Винера, в 1923 г., гипотеза об осцилляционной природе струк­турных элементов нервной ткани была выдвинута Б. Б. Кажипским (сы. [134]}.

[47] Сошлемся па интересную популярную книгу А. И. Китайгородского [141], посвященную «порядку и беспорядку в мире атомов», заключитель­ные параграфы которой носят такие названия: «Стремление к беспорядку». «Стремление к порядку», «Борьба порядка и беспорядка», «В любой обла­сти знаний мы сталкиваемся с проблемами порядка и беспорядка».

[48] Здесь не рассматривается случай так называемых сингулярных воз-

мутцений, когда дифференциальные уравнения содержат малый параметр

при производных хя.

[49] Мы но останавливаемся здесь па разъяснении некоторых понятий теории систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими (в частности — с постоянными) коэффициентами. В случае необходимости их можно найти, например, в книгах [294, 295, 571.

[50] Объяснение обозначений см. в сноске на с. 271.

[51] См. [216].

[52] Следует отличать случай неизвестности периода порождающего приближения от факта неизвестности периода синхронного движения в за­дачах о внутренней синхронизации (см. § 1 гл. 1).

[53] Такой прием применялся при решении ряда задач теории нелиней­ных колебаний (см,, папример, работы [31, 57, 74]).

[54] Объяснение обозначений см. в сноске на с. 271.

[55] Напомним, что минимум функции F в точке Ж0 называют строгим, если для всех точек Ж из некоторой е-окрестностп точки Жв справедливо неравенство F(.m) >Р(Ж0). При наличии соотношения F(Jl) ~^F(JK0) ми­нимум называют нестрогим. Строгий минимум функции, обнаруживаемый путем анализа членов второго порядка в ее разложениях вида (8.4), будем называть вруоъни отлижу ?>иож.

[56] Может, конечно, оказаться, что вышедшая из точки М фазовая тра­ектория больше никогда (за конечное время) не пересечет поверх­ность S; тогда говорят, что точка М не имеет последующей.

[57] Cm. [57, 207].

[58] Объяснение обозначений см, в сноске на с. 271.

[59] См. [41—43, 57].

[60] Естественно, что функция В может существовать несмотря на от­сутствие потенциала у сил Qr и Q,.

[61] Здесь кратко, но в видопзмепеппой и несколько расширенной форме приводятся результаты работы Р. Ф. Нагаева [210]; см. также [57].

[62] Величины со, не следует смешивать с введенными ранее парциаль­ными частотами объектов со,.

[63] См. [63, 66].

[64] Иными словами, орбитальные координаты ф*(t) являются периоди­ческими функциями с одинаковыми или кратными периодами.

[65] В последнем случае координаты ер, (I) выбираются так (если это оказывается практически возможным), чтобы в изучаемых движениях они изменились но закону, близкому к равномерному вращению (см. формулы (4.1)). Примером такого выбора координаты является переход от истинной аномалии к средней аномалии в теории кеплеровских орбит в небесной мехапике.

[66] Заметим, что именно в таком предположении уравнения типа (6.21) получены в работе [175], соответствующий раздел которой изложен нрми также и с некоторыми другими видоизменениями.